§ 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть при изучении некоторого явления установлено, что существует функциональная зависимость между величинами у и х, описывающая количественную сторону данного явления; при этом

функция остается нам неизвестной, но на основании эксперимента установлены значения этой функции при некоторых значениях аргумента принадлежащих отрезку

Задача заключается в том, чтобы найти функцию, по возможности более простую с точки зрения вычислительной (например, многочлен), которая представляла бы неизвестную функцию на отрезке точно или приближенно. В более отвлеченной форме эту задачу можно сформулировать так: на отрезке заданы значения неизвестной функции различных точках

требуется найти многочлен степени , приближенно выражающий функцию

В качестве такого многочлена естественно взять многочлен, значения которого в точках совпадают о соответствующими значениями функции (рис. 165).

Рис. 165.

Тогда поставленная задача, называемая «задачей интерполирования функции», формулируется так: для данной функции найти многочлен степени , который при заданных значениях принимал бы значения

В качестве искомого многочлена возьмем многочлен степени вида

и определим коэффициенты так, чтобы выполнялись условия

Положим в формуле тогда, принимая во внимание равенства (2), получим

откуда

Затем, положив , получим

откуда

Таким же образом найдем

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим

Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Отметим без доказательства, что если имеет производную порядка на отрезке , то погрешность при замене функции многочленом т. е. величина удовлетворяет неравенству

Замечание. Из теоремы 4 § 6 следует, что многочлен является единственным, удовлетворяющим поставленным условиям.

Укажем, что существуют и другие интерполяционные формулы. Одна из них — интерполяционная формула Ньютона — будет рассмотрена в § 10.

Пример. Из эксперимента получены такие значения функции при при при Требуется представить приближенно функцию многочленов 2-й степени.

Решение. По формуле (3) имеем (при ):

или