§ 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной
Пусть при 
производная функции y = f(x) обращается в нуль, т. е. 
Пусть, кроме того, вторая производная 
существует и непрерывна в некоторой окрестности точки 
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть 
тогда при 
функция имеет максимум, если 
и минимум, если 
Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть
Так как, по условию, 
непрерывна в некоторой окрестности точки 
то, очевидно, найдется некоторый малый отрезок, окружающий точку 
во всех точках которого вторая производная 
будет отрицательна.
Так как 
есть первая производная от первой производной, 
, то из условия 
следует, что 
убывает на отрезке, содержащем точку 
Но 
следовательно, на этом отрезке при 
имеем 
, а при 
имеем 
, т. е. производная 
при переходе через точку 
меняет знак с плюса на минус, а это значит, что в точке 
функция 
имеет максимум. Первая часть теоремы доказана.
Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы, а именно: если 
, то 
во всех точках некоторого отрезка, окружающего точку 
но тогда на этом отрезке 
и, следовательно, 
возрастает. Так как 
, то, значит, при переходе через точку 
производная 
меняет знак с минуса на плюс, т. е. функция 
имеет минимум при 
Если в критической точке 
, то в этой точке может быть или максимум, или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование нужно вести первым способом (см. § 4).
Схему исследования экстремумов с помощью второй производной можно изобразить в следующей таблице:
Пример 1, Исследовать на максимум и минимум функцию
Решение. Так как функция является периодической с периодом 
, то достаточно исследовать функцию на отрезке 
1) Находим производную:
2) Находим критические значения аргумента:
3) Находим вторую производную:
4) Исследуем характер каждой критической точки:
Следовательно, в точке 
имеем максимум:
Далее,
Следовательно, в точке 
имеем минимум:
В точке 
имеем
Следовательно, при 
функция имеет максимум:
Наконец,
Следовательно, в точке 
имеем минимум:
График исследуемой функции изображен на рис. 109.
Покажем, далее, на примерах, что если в некоторой точке 
имеем f и 
, то в этой точке функция f (х) может иметь либо максимум, либо минимум, либо не иметь ни максимума, ни минимума.
Пример 2. Исследовать на максимум и минимум функцию
Решение. 1) Находим критические точки:
2) Определяем знак второй производной при 
Следовательно, выяснить характер критической точки с помощью знака второй производной в данном случае нельзя.
Рис. 109.
3) Исследуем характер критической точки первым способом (см. § 4):
Следовательно, при 
функция имеет максимум, а именно;
График рассмотренной функции изображен на рис. 110,
Рис. 110.
Рис. 111.
Рис. 112.
Пример 3. Исследовать на максимум и минимум функцию
Решение. По второму способу находим
Следовательно, второй способ ответа не дает. Прибегая к первому способу, получаем
Следовательно, при 
функция имеет минимум (рис. 111.).
Пример 4, Исследовать на максимум и минимум функцию
Решение, Второй способ:
таким образом, второй способ ответа не дает. По первому способу находим
Следовательно, при 
функция не имеет ни максимума, ни минимума (рис. 112).
