Главная > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной

Пусть при производная функции y = f(x) обращается в нуль, т. е. Пусть, кроме того, вторая производная существует и непрерывна в некоторой окрестности точки Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть тогда при функция имеет максимум, если и минимум, если

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть

Так как, по условию, непрерывна в некоторой окрестности точки то, очевидно, найдется некоторый малый отрезок, окружающий точку во всех точках которого вторая производная будет отрицательна.

Так как есть первая производная от первой производной, , то из условия следует, что убывает на отрезке, содержащем точку Но следовательно, на этом отрезке при имеем , а при имеем , т. е. производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, а это значит, что в точке функция имеет максимум. Первая часть теоремы доказана.

Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы, а именно: если , то во всех точках некоторого отрезка, окружающего точку но тогда на этом отрезке и, следовательно, возрастает. Так как , то, значит, при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, т. е. функция имеет минимум при

Если в критической точке , то в этой точке может быть или максимум, или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование нужно вести первым способом (см. § 4).

Схему исследования экстремумов с помощью второй производной можно изобразить в следующей таблице:

Пример 1, Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение. Так как функция является периодической с периодом , то достаточно исследовать функцию на отрезке

1) Находим производную:

2) Находим критические значения аргумента:

3) Находим вторую производную:

4) Исследуем характер каждой критической точки:

Следовательно, в точке имеем максимум:

Далее,

Следовательно, в точке имеем минимум:

В точке имеем

Следовательно, при функция имеет максимум:

Наконец,

Следовательно, в точке имеем минимум:

График исследуемой функции изображен на рис. 109.

Покажем, далее, на примерах, что если в некоторой точке имеем f и , то в этой точке функция f (х) может иметь либо максимум, либо минимум, либо не иметь ни максимума, ни минимума.

Пример 2. Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение. 1) Находим критические точки:

2) Определяем знак второй производной при

Следовательно, выяснить характер критической точки с помощью знака второй производной в данном случае нельзя.

Рис. 109.

3) Исследуем характер критической точки первым способом (см. § 4):

Следовательно, при функция имеет максимум, а именно;

График рассмотренной функции изображен на рис. 110,

Рис. 110.

Рис. 111.

Рис. 112.

Пример 3. Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение. По второму способу находим

Следовательно, второй способ ответа не дает. Прибегая к первому способу, получаем

Следовательно, при функция имеет минимум (рис. 111.).

Пример 4, Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение, Второй способ:

таким образом, второй способ ответа не дает. По первому способу находим

Следовательно, при функция не имеет ни максимума, ни минимума (рис. 112).

1
Оглавление
email@scask.ru