ГЛАВА I. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ

§ 1. Действительные числа.

Изображение действительных чисел точками числовой оси

Одним из основных понятий математики является число. Понятие числа возникло в древности и на протяжении длительного времени подвергалось расширению и обобщению.

Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом нуль называются рациональными числами. Каждое рациональное число может быть представлено в виде отношения двух целых чисел , например

В частности, целое число можно рассматривать как отношение двух целых чисел например

Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются бесконечными, но непериодическими десятичными дробями, называются иррациональными числами: таковы числа и т. д.

Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных (или вещественных) чисел. Действительные числа упорядочены по величине, т. е. для каждой пары действительных чисел имеет место одно и только одно из соотношений

Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны: 1) некоторая точка О, называемая началом отсчета, 2) положительное направление, которое указывается стрелкой, и 3) масштаб для измерения длин. Чаще всего мы будем располагать

числовую ось горизонтально и положительное направление выбирать слева направо.

Если число положительно, то его изображают точкой лежащей справа от точки О на расстоянии если число отрицательно, то его изображают точкой лежащей слева от точки О на расстоянии Точка О изображает число нуль. Очевидно, что каждое действительное число изображается определенной точкой числовой оси. Два различных действительных числа изображаются различными точками числовой оси.

Справедливо также утверждение: каждая точка числовой оси является изображением только одного действительного числа (рационального или иррационального).

Рис. 1.

Таким образом, между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие: каждому числу соответствует единственная изображающая его точка и, наоборот, каждой точке соответствует единственное изображаемое ею число. Это дает возможность во многих рассуждениях в некотором смысле равнозначно употреблять понятие «число х» и понятие «точка х». Последним обстоятельством мы будем широко пользоваться в курсе.

Укажем без доказательства следующее важное свойство совокупности действительных чисел: между двумя произвольными действительными числами найдутся как рациональные, так и иррациональные числа. В терминах геометрических это предложение формулируется так: между двумя произвольными пинками числовой оси найдутся как рациональные, так и иррациональные точки.

В заключение отметим следующую теорему, представляющую собой в известном смысле «мостик между теорией и практикой».

Теорема. Каждое иррациональное число а можно с любой степенью точности выразить с помощью рациональных чисел.

В самом деле, пусть иррациональное число а > 0 и пусть требуется вычислить а с точностью до до 1/10, до 1/100 и т. д.).

Каково бы ни было а, оно заключается между двумя целыми числами N и Разделим отрезок между N и на частей; тогда а окажется между рациональными числами Так как разность этих чисел равна то, следовательно, каждое из них выражает а с заданной степенью точности: первое с недостатком, а второе — с избытком.

Пример. Иррациональное число выражается рациональными числами;