§ 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа

1. Возведение в степень. Из формулы (3) предыдущего параграфа следует, что если n — целое положительное число, то

Эта формула называется формулой Муавра. Она показывает, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Рассмотрим теперь еще одно приложение формулы Муавра. Полагая в этой формуле , получим

Разлагая левую часть по формуле бинома Ньютона и приравнивая действительные и мнимые части, мы сможем выразить и через степени и . Так, например, в случае получаем

используя условие равенства двух комплексных чисел, получим

2. Извлечение корня. Корнем степени из комплексного числа называется такое комплексное число, степень которого равняется подкоренному числу, т. е.

если

Так как у равных комплексных чисел модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное то Отсюда находим где любое целое число, арифметическое (т. е. действительное положительное) значение корня из положительного числа г. Следовательно,

Придавая k значения получим различных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными.

Итак, корень степени из комплексного числа имеет различных значений.

Корень степени из действительного числа , отличного от нуля, также имеет значений, так как действительное число является частным случаем комплексного и может быть представлено в тригонометрической форме:

Пример 1. Найти все значения кубического корня из единицы, Решение. Представим единицу в тригонометрической форме:

По формуле (2) получаем

Полагая k равным 0, 1, 2, находим три значения корня:

Учитывая, что

получаем .

На рис. 164 точки А, В, С являются геометрическими изображениями полученных корней.

Рис. 164.

3. Решение двучленного уравнения. Уравнение вида

называется двучленным. Найдем корни этого уравнения. Если А есть действительное положительное число, то

Выражение в скобках дает все значения корня степени из 1. Если А — действительное отрицательное число, то

Выражение в скобках дает все значения корня степени из —1.

Если А — комплексное число, то значения находятся по формуле (2).

Пример 2. Решить уравнение .

Решение, Полагая равным 0, 1,2,3, получаем