§ 7. Число e

Рассмотрим переменную величину

где — возрастающая переменная величина, принимающая значения из натурального ряда чисел 1, 2, 3, ...

Теорема 1. Переменная величина при имеет предел, заключенный между 2 и 3.

Доказательство. По формуле бинома Ньютона можем написать

Произведя очевидные алгебраические преобразования, получим

Из последнего равенства следует, что переменная величина возрастающая переменная величина при возрастающем .

Действительно, при переходе от значения к значению каждое слагаемое последней суммы возрастает:

и добавляется еще один член. (Все члены разложения — положительные.)

Покажем, что переменная величина ограничена.

Замечая, что и т. д., из выражения (2) получим неравенство

Замечая, далее, что

можем написать неравенство

Подчеркнутые члены правой части этого неравенства образуют геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом поэтому

Следовательно, для всех получаем

Из равенства (2) следует, что

Таким образом, получаем неравенства

Этим установлено, что переменная величина граничена.

Итак, переменная величина возрастающая и ограниченная, поэтому на основании теоремы 7 § 5 она имеет предел. Этот предел обозначается буквой .

Определение. Предел переменной величины называется числом :

Из неравенства (3) на основании теоремы 6 § 5 следует, что и число удовлетворяет неравенству Теорема доказана.

Число — иррациональное число. Позднее будет указан метод его вычисления с любой степенью точности. Его значение с десятью верными знаками после запятой:

Теорема 2. Функция при стремящемся к бесконечности, стремится к пределу :

Доказательство. Было установлено, что при , если принимает целые положительные значения. Пусть теперь стремится к бесконечности, принимая как дробные, так и отрицательные значения.

1) Пусть . Каждое его значение заключено между двумя положительными целыми числами: . При этом

будут выполняться неравенства

Если то, очевидно, . Найдем пределы переменных, между которыми заключена переменная

следовательно (по теореме 4 § 5),

2) Пусть . Введем новую переменную или При будет . Можем написать

Рис. 45.

Теорема доказана. График функции изображен на рис. 45.

Если в равенстве (4) положить то при имеем (но ) и мы получаем

Примеры:

Замечание. Показательная функция с основанием ,

играет исключительно большую роль в дальнейшем курсе математики. Эта функция играет большую роль при изучении различных явлений в механике (теория колебаний), в электротехнике и радиотехнике, в радиохимии и т. д.

Эту функцию часто называют экспонентой (exponential function). Графики показательной функции и показательной функции изображены на рис. 46.

Рис. 46.