ГЛАВА III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

§ 1. Скорость движения

Будем рассматривать прямолинейное движение некоторого твердого тела, например движение камня, брошенного вертикально вверх, или движение поршня в цилиндре двигателя и т. д.

Отвлекаясь от конкретных размеров и формы тела, мы будем в дальнейшем представлять его в виде движущейся точки М. Расстояние s движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения будет зависеть от времени , т. е. s будет функцией времени

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка М находилась на расстоянии s от начального положения а в некоторый следующий момент точка оказалась в положении — на расстоянии от начального положения (рис. 57).

Рис. 57.

Таким образом, за промежуток времени расстояние s изменилось на величину . В этом случае говорят, что за промежуток времени величина s получила приращение

Рассмотрим отношение оно дает нам среднюю скорость движения точки за время

Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки М в момент t. Если, например, тело в начале промежутка перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость, очевидно, не. сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать нам правильное представление об истинной скорости ее движения

в момент t. Для того чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится средняя скорость при Этот предел и называют скоростью движения в данный момент:

Таким образом, скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути к приращению времени когда приращение времени стремится к нулю.

Напишем равенство (3) в развернутом виде. Так как

то

Это и будет скорость неравномерного движения. Таким образом, мы видим, что понятие скорости неравномерного движения органически связано с понятием предела. Только с помощью понятия предела можно определить скорость неравномерного движения.

Из формулы (3) следует, что v не зависит от приращения времени а зависит от значения t и характера функции

Пример. Найти скорость равномерно ускоренного движения в произвольный момент момент если зависимость пути от времени выражается формулой

Решение. В момент t имеем в момент получим

Найдем

Составим отношение

по определению имеем

Таким образом, скорость в любой момент времени t равна

При имеем