§ 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки
Пусть требуется найти интеграл 
причем непосредственно подобрать первообразную для 
мы не можем, но нам известно, что она существует.
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив
где 
непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда 
докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство:
Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через 
на основании равенства (1).
Для того чтобы установить, что выражения, стоящие справа и слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по 
равны между собой. Находим производную от левой части: 
Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по 
как сложную функцию, где t — промежуточный аргумент. Зависимость t от 
выражается равенством (1), при этом 
и по правилу дифференцирования обратной функции 
Таким образом, имеем
Следовательно, производные по 
от правой и левой частей равенства (2) равны, что и требовалось доказать.
Функцию 
следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2).
Замечание. При интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену переменной не в виде 
а в виде 
Проиллюстрируем это на примере. Пусть нужно вычислить интеграл, имеющий вид
Здесь удобно положить
тогда
Приведем несколько примеров на интегрирование с помощью замены переменных.
Пример 1, 
Сделаем подстановку 
тогда 
и, следовательно, 
Пример 2. 
Полагаем тогда 
Пример 3. 
Полагаем 
тогда 
Пример 4. 
Полагаем 
тогда 
что 
В примерах 3 и 4 выведены формулы, приведенные в таблице интегралов под номерами 11 и 13 (см. выше, § 2).
Пример 5. 
Полагаем 
тогда
Пример 6. 
Полагаем 
тогда
Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким-либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря, изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения. Этому и посвящена большая часть настоящей главы.
