§ 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки

Пусть требуется найти интеграл причем непосредственно подобрать первообразную для мы не можем, но нам известно, что она существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

где непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство:

Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через на основании равенства (1).

Для того чтобы установить, что выражения, стоящие справа и слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по равны между собой. Находим производную от левой части: Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по как сложную функцию, где t — промежуточный аргумент. Зависимость t от выражается равенством (1), при этом и по правилу дифференцирования обратной функции Таким образом, имеем

Следовательно, производные по от правой и левой частей равенства (2) равны, что и требовалось доказать.

Функцию следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2).

Замечание. При интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену переменной не в виде а в виде Проиллюстрируем это на примере. Пусть нужно вычислить интеграл, имеющий вид

Здесь удобно положить

тогда

Приведем несколько примеров на интегрирование с помощью замены переменных.

Пример 1, Сделаем подстановку тогда и, следовательно,

Пример 2. Полагаем тогда

Пример 3. Полагаем тогда

Пример 4. Полагаем тогда что

В примерах 3 и 4 выведены формулы, приведенные в таблице интегралов под номерами 11 и 13 (см. выше, § 2).

Пример 5. Полагаем тогда

Пример 6. Полагаем тогда

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким-либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря, изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения. Этому и посвящена большая часть настоящей главы.