§ 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства
Пусть 
Если 
- действительные переменные, то 
называется комплексной переменной. Каждому значению комплексной переменной 
на плоскости 
комплексной переменной) соответствует определенная точка (см. рис. 162).
Определение. Если каждому значению комплексной переменной 
из некоторой области комплексных значений соответствует определенное значение другой комплексной величины w, то w есть функция комплексной переменной 
. Функции комплексного аргумента обозначают 
или 
Здесь мы рассмотрим одну функцию комплексной переменной — показательную функцию
или
Комплексные значения функции w определяются так 
т. е.
Примеры:
4. 
- действительное число, 
показательная функция.
Свойства показательной функции.
1. Если 
два комплексных числа, то
Доказательство. Пусть
тогда
С другой стороны, на основании теоремы о произведении двух комплексных чисел в тригонометрической форме будем иметь
В равенствах (4) и (5) правые части равны, следовательно, равны и левые: 
2. Аналогичным образом доказывается формула
3. Если 
— целое число, то
При 
эта формула легко получается на основании формулы (3); если 
то она получается на основании формул (3) и (6).
4. Справедливо тождество
Действительно, по формулам (3) и (1) получаем
На основании тождества (8) следует, что показательная функция 
есть периодическая функция с периодом 
Рассмотрим, далее, комплексную величину
где и 
действительные функции действительной переменной х. Это есть комплексная функция действительной переменной.
а) Пусть существуют пределы
Тогда 
называют пределом комплексной переменной 
б) Если существуют производные 
, то выражение
будем называть производной комплексной функции действительной переменной по действительному аргументу.
Рассмотрим, далее, следующую показательную функцию:
где 
— постоянные действительные числа, 
действительная переменная. Это есть комплексная функция действительной переменной, которую по формуле (1) можно переписать так:
или
Найдем производную 
По формуле (9) будем иметь
Итак, если 
Таким образом, если k — комплексное число (в частности действительное) и 
действительное число, то
Получили обычную формулу дифференцирования показательной функции. Далее,
и при произвольном 
Эти формулы нам потребуются в дальнейшем.
