§ 5. Предел отношения двух бесконечно больших величин «раскрытие неопределенностей вида oo/oo»)

Рассмотрим, далее, вопрос о пределе отношения двух функций стремящихся к бесконечности при при

Теорема. Пусть функции непрерывны и дифференцируемы при всех в окрестности точки а, причем производная не обращается в нуль; пусть, далее,

и пусть существует предел

Тогда существует предел и

Доказательство. В рассматриваемой окрестности точки а возьмем две точки а и так, чтобы было По теореме Коши будем иметь

где а < с < х. Левую часть равенства (3) преобразуем так:

Из соотношений (3) и (4) получаем

Отсюда находим

Из условия (1) следует, что при произвольно малом ыожно а выбрать настолько близким к а, что для всех , где

будет выполняться неравенство

или

Далее рассмотрим дробь

Закрепив так, чтобы обеспечивалось выполнение неравенства (6), будем приближать к . Так как при то

и, следовательно, при ранее выбранном для достаточно близких к а, будем иметь

или

Перемножая соответствующие члены неравенств (6) и (7), получим

или на основании равенства (5)

Так как — произвольно малое число при достаточно близкого к а, то из последних неравенств следует, что

или на основании (1)

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Если в условии т. е.

то равенство (2) остается справедливым и в этом случае. Действительно, из предыдущего выражения следует

Тогда по доказанной теореме

откуда

Замечание 2. Доказанная теорема легко распространяется на случай, когда . Если и существует, то

Доказательство проводится путем замены как это делалось при аналогичных условиях в случае неопределенности вида замечание 4).

Пример 1. .

Замечание 3. Отметим еще раз, что формулы (2) и (8) справедливы только в том случае, если предел, стоящий справа (конечный или бесконечный), существует. Может случиться, что предел, стоящий слева, существует, в то время как предел, стоящий справа, не существует. Приведем пример. Пусть требуется найти

Этот иредел существует и равен 1. Действительно,

Но отношение производных

при не стремится ни к какому пределу, а колеблется между 0 и 2.

Пример

Пример 3.

Пример Вообще, при любом целом

К предыдущим случаям сводятся случаи других неопределенностей, которые символически записывают так:

и смысл которых состоит в следующем.

а) Пусть требуется найти . Это — неопределенность типа

Если искомое выражение переписать в виде

или в виде

то при мы получим неопределенность вида или вида

Пример

б) Пусть требуется найти или, как говорят, раскрыть неопределенность вида ,

Положив прологарифмируем обе части полученного равенства: При а получим (справа) неопределенность вида Найдя , легко получить .

Действительно, в силу непрерывности логарифмической функции, , и если , то, очевидно, . Если, в частности, или то, соответственно, или 0.

Пример 6. Требуется найти Положив находим;

следовательно откуда

Аналогичным приемом находятся пределы и в других случаях.