Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 5. Предел отношения двух бесконечно больших величин «раскрытие неопределенностей вида oo/oo»)
Рассмотрим, далее, вопрос о пределе отношения двух функций
стремящихся к бесконечности при
при
Теорема. Пусть функции
непрерывны и дифференцируемы при всех
в окрестности точки а, причем производная
не обращается в нуль; пусть, далее,
и пусть существует предел
Тогда существует предел
и
Доказательство. В рассматриваемой окрестности точки а возьмем две точки а и
так, чтобы было
По теореме Коши будем иметь
где а < с < х. Левую часть равенства (3) преобразуем так:
Из соотношений (3) и (4) получаем
Отсюда находим
Из условия (1) следует, что при произвольно малом
ыожно а выбрать настолько близким к а, что для всех
, где
будет выполняться неравенство
или
Далее рассмотрим дробь
Закрепив
так, чтобы обеспечивалось выполнение неравенства (6), будем
приближать к
. Так как
при
то
и, следовательно, при ранее выбранном
для
достаточно близких к а, будем иметь
или
Перемножая соответствующие члены неравенств (6) и (7), получим
или на основании равенства (5)
Так как
— произвольно малое число при
достаточно близкого к а, то из последних неравенств следует, что
или на основании (1)
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Если в условии
т. е.
то равенство (2) остается справедливым и в этом случае. Действительно, из предыдущего выражения следует
Тогда по доказанной теореме
откуда
Замечание 2. Доказанная теорема легко распространяется на случай, когда
. Если
и
существует, то
Доказательство проводится путем замены
как это делалось при аналогичных условиях в случае неопределенности вида
замечание 4).
Пример 1.
.
Замечание 3. Отметим еще раз, что формулы (2) и (8) справедливы только в том случае, если предел, стоящий справа (конечный или бесконечный), существует. Может случиться, что предел, стоящий слева, существует, в то время как предел, стоящий справа, не существует. Приведем пример. Пусть требуется найти
Этот иредел существует и равен 1. Действительно,
Но отношение производных
при
не стремится ни к какому пределу, а колеблется между 0 и 2.
Пример
Пример 3.
Пример
Вообще, при любом целом
К предыдущим случаям сводятся случаи других неопределенностей, которые символически записывают так:
и смысл которых состоит в следующем.
а) Пусть
требуется найти
. Это — неопределенность типа
Если искомое выражение переписать в виде
или в виде
то при
мы получим неопределенность вида
или вида
Пример
б) Пусть
требуется найти
или, как говорят, раскрыть неопределенность вида
,
Положив
прологарифмируем обе части полученного равенства:
При
а получим (справа) неопределенность вида
Найдя
, легко получить
.
Действительно, в силу непрерывности логарифмической функции,
, и если
, то, очевидно,
. Если, в частности,
или
то, соответственно,
или 0.
Пример 6. Требуется найти
Положив
находим;
следовательно
откуда
Аналогичным приемом находятся пределы и в других случаях.