§ 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Пусть имеем некоторое тело Г. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т. е. будет функцией от :

Предположим, что есть непрерывная функция от и определим объем данного тела. Проведем плоскости

Эти плоскости разобьют тело на слои.

В каждом частичном промежутке выберем произвольную точку и для каждого значения построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси а направляющая представляет собой контур сечения тела Т плоскостью Объем такого элементарного цилиндра с площадью основания и высотой равен Объем всех цилиндров будет

Предел этой суммы при (если он существует) называется объемом данного тела:

Рис. 241.

Рис. 242.

Так как представляет собой, очевидно, интегральную сумму для непрерывной функции на отрезке то указанный предел существует и выражается определенным интегралом:

Пример. Вычислить объем трехосного эллипсоида (рис. 242)

Решение. В сечении эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости Oyz и отстоящей на расстоянии от нее, получится эллипс

Но площадь такого эллипса равняется пример 3 § 1). Поэтому Объем эллипсоида будет равен

В частности, если эллипсоид превращается в шар, и в этом случае получаем