§ 9. Формула Чебышева

В технических вычислениях часто применяется формула Чебышева для приближенного интегрирования.

Пусть снова требуется вычислить

Заменим подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа (§ 9 гл. VII), взяв на отрезке некоторые значений функции где какие угодно точки отрезка

Получим следующую приближенную формулу интегрирования:

после некоторых вычислений она примет вид

где коэффициенты вычисляются по формулам

Формула (3) громоздка и неудобна для вычислений, так как коэффициенты выражаются сложными дробями.

Чебышев поставил обратную задачу: задать не абсциссы а коэффициенты и определить абсциссы

Коэффициенты задаются так, чтобы формула (3) была возможно проще для вычислений. Очевидно, что это будет тогда, когда все коэффициенты равны между собой:

Если обозначить общее значение коэффициентов через то формула (3) примет вид

Формула (5) представляет вообще приближенное равенство, но если есть многочлен степени не выше , то равенство будет точным. Это обстоятельство и позволяет определить величины

Чтобы получить формулу, удобную для любого промежутка интегрирования, преобразуем отрезок интегрирования в отрезок . Для этого положим тогда при будет при будет

Следовательно,

где через обозначена функция от t, стоящая под знаком интеграла. Таким образом, задача интегрирования данной функции

f(x) на отрезке всегда может быть сведена к интегрированию некоторой другой функции на отрезке

Итак, задача свелась к тому, чтобы в формуле 1

подобрать числа так, чтобы эта формула была точной для всякой функции вида

Заметим, что

С другой стороны, сумма, стоящая в правой части равенства (6), на основании (7) будет равна

Приравнивая выражения (8) и (9), получим равенство, которое должно быть справедливо при любых

Приравняем коэффициенты при в левой и правой частях равенства:

Из последних уравнений находим абсциссы Эти решения найдены Чебышевым для различных значений . Ниже приводятся найденные им решения в случаях, когда число промежуточных точек равно 3, 4, 5, 6, 7, 9:

Таким образом, приближенное вычисление интеграла на отрезке [-1, 1] производится по следующей формуле Чебышева: 1

где — какое-либо из чисел 3, 4, 5, 6, 7 или 9, а числа, приведенные в таблице. В качестве нельзя брать число 8 или числа, превосходящие 9; в этом случае система уравнений (10) дает мнимые корни. Когда заданный интеграл имеет пределы интегрирования а и b, формула Чебышева принимает вид

где имеют указанные в таблице значения.

Пример. Вычислить

Решение. Прежде всего заменой переменной преобразуем этот интеграл в новый интеграл, у которого границы интегрирования будут . Тогда .

числим последний интеграл, приняв , по формуле Чебышева:

Так как

Сравнивая этот результат с результатами вычисления по формулам прямоугольников, по формуле трапеций и формуле Симпсона (см. пример в предыдущем параграфе), мы замечаем, что результат, полученный нами по формуле Чебышева (с тремя промежуточными точками), лучше согласуется с истинным значением интеграла, чем результат, полученный по формуле трапеций (с девятью промежуточными точками).

Отметим, что теория приближенного вычисления интегралов получила дальнейшее развитие в работах академика А. Н. Крылова (1863-1945).