§ 7. Полное приращение и полный дифференциал

По определению полного приращения функции имеем (см. § 3)

Предположим, что в рассматриваемой точке имеет непрерывные частные производные.

Выразим через частные производные. Для этого в правой части равенства (1) прибавим и вычтем

Выражение

стоящее во второй квадратной скобке, можно рассматривать как разность двух значений функции одной переменной у значение х остается постоянным). Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим

где заключено между у и

Точно так же выражение, стоящее в первой квадратной скобке равенства (2), можно рассматривать как разность двух значений

функции одной переменной х (второй аргумент сохраняет одно и то же значение ). Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим

где заключено между .

Внося выражения (3) и (4) в равенство (2), получим

Так как, по предположению, частные производные непрерывны, то

(так как и у заключены соответственно между х и то при устремятся соответственно к Равенства (6) можно переписать в виде

где величины стремятся к нулю, когда стремятся к нулю (т. е. когда ).

В силу равенств (6) соотношение (5) принимает вид

Сумма двух последних слагаемых правой части является бесконечно малой высшего порядка относительно Действительно, отношение при так как является бесконечно малой величиной, а — ограниченной

Аналогично проверяется, что

Сумма первых двух слагаемых есть выражение, линейное относительно При это выражение представляет собой главную часть приращения, отличаясь от на бесконечно малую высшего порядка относительно

Определение. Функция полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно и величины, бесконечно малой высшего порядка относительно называется дифференцируемой в данной точке, а линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается через или

Из равенства (5) следует, что если функция имеет непрерывные частные производные в дайной точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал

Равенство (5) можно переписать в виде

и с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно можно написать следующее приближенное равенство:

Приращения независимых переменных мы будем называть дифференциалами независимых переменных и у и обозначать соответственно через Тогда выражение полного дифференциала примет вид

Таким образом, если функция имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в точке и ее полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

Рис. 174.

Пример 1. Найти полный дифференциал и полное приращение функции в точке (2; 3) при

Решение.

Следовательно,

На рис. 174 дана иллюстрация к этому примеру.

Предыдущие рассуждения и определения соответственным образом обобщаются на функции любого числа аргументов.

Если имеем функцию любого числа переменных

причем все частные производные непрерывны в точке , то выражение

является главной частью полного приращения функции и называется полным дифференциалом. Доказательство того, что разность является бесконечно малой более высокого порядка, чем проводится совершенно так же, как и для функции двух переменных.

Пример 2. Найти полный дифференциал функции и трех переменных

Решение. Заметив, что частные производные

непрерывны при всех значениях , находим