§ 2. Возрастание и убывание функции
В § 6 главы 1 было дано определение возрастающей и убывающей функций. Теперь мы применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.
Теорема. 1) Если функция 
имеющая производную на отрезке 
возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке 
не отрицательна, m. е. 
Если функция 
непрерывна на отрезке 
и дифференцируема в промежутке 
причем 
для 
то эта функция возрастает на отрезке 
Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть 
возрастает на отрезке 
. Придадим аргументу 
приращение 
и рассмотрим отношение
Так как 
функция возрастающая, то 
при 
при 
В обоих случаях
а следовательно,
т. е. 
, что и требовалось доказать. (Если бы было 
, то при достаточно малых значениях 
отношение (1) было бы отрицательным, что противоречит соотношению (2).)
Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть 
при всех значениях 
принадлежащих промежутку 
Рассмотрим два любых значения 
принадлежащих отрезку 
По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем
По условию 
следовательно, 
, а это и значит, что f(x) - возрастающая функция.
Аналогичная теорема имеет место и для убывающей (дифференцируемой) функции, а именно:
убывает на отрезке 
то О на этом отрезке. Если 
в промежутке 
убывает на отрезке [а, Ь].
и дифференцируема всюду на 
функция 
возрастает, то касательная к кривой y = f(x) в каждой точке на этом отрезке образует с осью 
острый угол 
или в отдельных точках — горизонтальна; тангенс этого угла не отрицателен; 
а). Если функция 
убывает на отрезке 
то угол наклона касательной — тупой (или—в отдельных точках — касательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен (рис. 98, б). Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы. Теорема позволяет судить о возрастании или убывании функции по знаку ее производной.
при 
имеем у’ > 0 - функция возрастает; при 
имеем у’ < 0 - функция убывает (рис, 99).