отдельно члены, содержащие i и не содержащие i, то получим
где М и N — выражения, не содержащие i.
Так как a + ib - корень многочлена, то
откуда
Подставим теперь в многочлен вместо 
выражение 
. Тогда (на основании замечания 3 в конце § 2) мы получим в результате число, сопряженное с числом т. е.
Так как 
и 
, то 
есть корень многочлена.
Итак, в разложении
комплексные корни входят попарно сопряженными.
Перемножив линейные множители, соответствующие паре комплексно сопряженных корней, получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами:
где 
— действительнее числа.
Если число 
является корнем кратности k, то сопряженное число 
должно являться корнем той же кратности так что наряду с линейными множителями 
в разложение многочлена входят столько же линейных множителей вида 
Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности, т. е.
При этом
могут быть как действительными, так и комплексными. Имеет место следующая теорема.
с действительными коэффициентами имеет комплексный корень 
, то он имеет и сопряженный корень 
вместо 
число 
произведем возведение в степень и соберем
