§ 4. Предел отношения двух бесконечно малых величин «раскрытие неопределенностей вида 0/0»)

Пусть функции на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке этого отрезка, т. е.

Отношение не определено при , но имеет вполне определенный смысл при значениях Следовательно, может быть поставлен вопрос о разыскании предела этого отношения при Вычисление пределов такого типа называется обычно «раскрытием неопределенностей вида

С такого рода задачей мы уже имели дело и раньше, например при рассмотрении предела при нахождении производных от элементарных функций. Выражение при не имеет смысла, т. е. функция определена при

но мы видели, что предел выражения при существует и равняется 1.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке тогда, если существует предел отношения ; при то существует и причем

Доказательство. Возьмем на отрезке какую-нибудь точку Применяя формулу Коши, будем иметь

где лежит между . Но по условию значит

Если то и так как заключено между

При этом, если то также существует и равен А. Отсюда ясно, что

и окончательно

Замечание 1. Теорема имеет место и в том случае, если функции или не определены при , но

Для того чтобы свести этот случай к рассмотренному ранее, доопределяем функции в точке так, чтобы они стали непрерывными в точке а. Для этого достаточно положить так как, очевидно, предел отношения при а не зависит от того, определены ли функции в точке .

Замечание 2. Если и производные удовлетворяют тем условиям, которые были наложгны

в условиях теоремы на функции то, применяя правило Лопиталя к отношению приходим к формуле и т. д.

Замечание 3. Если но , то теорема приложима к обратному отношению которое стремится к нулю при Следовательно, отношение стремится к бесконечности.

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3.

Здесь три раза пришлось применить правило Лопиталя, так как отношения первых, вторых и третьих производных при приводят к неопределенности

Замечание 4. Правило Лопиталя применимо и в том случае, если

Действительно, полагая видим, что при и, следовательно,

Применяя правило Лопиталя к отношению находим:

что и требовалось доказать.

Пример 4. .