§ 8. Производная логарифмической функции
Теорема. Производная от функции 
равна 
, т. е.
Доказательство. Если 
есть приращение функции 
соответствующее приращению 
аргумента 
то
Умножим и разделим на 
выражение, стоящее в правой части последнего равенства:
Обозначим величину — через а. Очевидно, 
при 
и данном х. Следовательно,
Но, как известно (см. § 7 гл. II),
Если же выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к числу 
, то логарифм этого выражения стремится к 
(в силу непрерывности логарифмической функции). Поэтому окончательно получаем
Заметив, что 
полученную формулу можно переписать так: 
Отметим важный частный случай этой формулы: если а 
то 
, т. е.
