§ 6. Формула Тейлора

Предположим, что функция y = f(x) имеет все производные до порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку Найдем многочлен степени не выше значение которого в точке равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до порядка в точке равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке:

Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции

Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням с неопределенными коэффициентами:

Неопределенные коэффициенты определим так, чтобы удовлетворялись условия (1).

Предварительно найдем производные от :

Подставляя в левые и правые части равенств (2) и (3) вместо значение а и заменяя на основании равенств через через и т.д., получим

откуда находим

Подставляя найденные значения в формулу (2), получим искомый многочлен

Обозначим через разность значений данной функции и построенного многочлена

откуда или в развернутом виде

называется остаточным членом. Для тех значений для которых остаточный член мал, многочлен дает приближенное представление функции

Рис. 96.

Таким образом, формула (6) дает возможность заменить функцию многочленом с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена

Дальнейшая наша задача — оценить величину при различных значениях х.

Запишем остаточный член в форме

где есть некоторая функция, подлежащая определению, и в соответствии с этим перепишем формулу (6):

При фиксированных и а функция имеет определенное значение; обозначим его через

Рассмотрим, далее, вспомогательную функцию от t (t заключено между а их):

где Q имеет значение, определенное соотношением (6); при этом считаем а их определенными числами.

Найдем производную

или после сокращения

Итак, функция Имеет производную во всех точках t, лежащих вблизи точки с абсциссой а при при

Далее, замечаем, что (на основании формулы )

Поэтому к функции применима теорема Ролля, и, следовательно, существует такое значение заключенное между а их, при котором . Отсюда на основании соотношения (8) получаем

откуда

Подставляя это выражение в формулу (7), получаем

Это — так называемая форма Лагранжа для остаточного члена. Так как заключено между и а, то его можно представить в форме

где — число, заключенное между 0 и 1, т. е. тогда формула остаточного члена примет вид

Формула

называется формулой Тейлора для функции

Если в формуле Тейлора положить то она запишется в виде

где заключено между числами 0 и 1. Этот частный случай формулы Тейлора иногда называют формулой Маклорена.