§ 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции

Предположим, что в уравнении

u и v являются функциями независимых переменных :

В этом случае есть сложная функция от аргументов х и у.

Конечно, можно выразить и непосредственно через х, у, а именно:

Пример 1. Пусть тогда

Предположим, что функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам и поставим задачу: вычислить и исходя из уравнений (1) и и не пользуясь уравнением (3).

Дадим аргументу приращение сохраняя значение у неизменным. Тогда в силу уравнения (2) и и v получат приращения

Но если и и v получают приращения то и функция получит приращение определяемое формулой (5) § 7:

Разделим все члены этого равенства на

Если , то (в силу непрерывности функций ). Но тогда тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при получим

и, следовательно,

Если бы мы дали приращение переменной у, а х оставили неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений нашли бы

Пример 2.

Используя формулы (4) и (4), находим

В последние выражения вместо и и v необходимо подставить соответственно.

Для случая большего числа переменных формулы (4) и (4) естественным образом обобщаются.

Например, если есть функция четырех аргументов , а каждый из зависит от то формулы (4) и (4) принимают вид

Если задана функция , где у, u, v в свою очередь зависят от одного аргумента х:

то, по сути дела, является функцией только одной переменной и можно ставить вопрос о нахождении производной Эта производная вычисляется по первой из формул (5):

но так как — функции только одного то частные производные обращаются в обыкновенные; кроме того, поэтому

Эта формула носит название формулы для вычисления полной производной в отличие от частной производной Пример 3.

Формула (6) дает в этом случае следующий результат:

Найдем далее полный дифференциал сложной функции, определенной равенствами (1) и (2).

Подставляем выражения определенные равенствами (4) и (4), в формулу полного дифференциала

Получаем

Произведем следующие преобразования в правой части:

Но

Равенство (7) с учетом равенств (8) можно переписать так:

или

Сравнивая (6) и (9), можем сказать, что выражение полного дифференциала функции нескольких переменных (дифференциала первого порядка) имеет тот же вид, т. е. форма дифференциала инвариантна, являются ли и и v независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пример 4. Найти полный дифференциал сложной функции

Решение. По формуле (9) имеем

Последнее выражение можно переписать и так: