§ 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок

Вернемся к интегралу, рассмотренному в § 11,

где случае интеграл имеет вид II § 10, при с выражение и мы имеем дело с рациональной функцией, если при функция с не определена ни при каком значении Покажем здесь метод преобразования этого интеграла к интегралу вида

который, рассмотрен в предыдущем параграфе.

Произведем преобразование трехчлена, стоящего под корнем:

Сделаем замену переменной, положив . Тогда

Рассмотрим все возможные случаи.

1. Пусть Введем обозначения . В этом случае будем иметь

2. Пусть . Тогда . Следовательно,

3. Пусть . Тогда . Следовательно,

4. Пусть . В этом случае с есть комплексное число при любом значении х.

Таким образом, интеграл (1) преобразуется к одному из следующих типов интегралов:

Очевидно, что интеграл (3.1) приводится к интегралу вида (2) с помощью подстановки Интеграл (3.2) приводится к виду (2) с помощью подстановки . Интеграл (3.3) приводится к виду (2) с помощью подстановки

Пример. Вычислить интеграл

Решение. Это — интеграл типа III. Сделаем замену , тогда