§ 3. Длина дуги кривой

1. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая уравнением y = f(x).

Найдем длину дуги АВ этой кривой, заключенной между вертикальными прямыми

Рис. 239.

В главе VI (§ 1) было дано определение длины дуги. Напомним это определение.

Возьмем на дуге АВ точки с абсциссами и проведем хорды длины которых обозначим соответственно через

Тогда получим ломаную вписанную в дугу АВ. Длина ломаной равна

Длиной s дуги АВ называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

Мы докажем сейчас, что если на отрезке функция и ее производная непрерывна, то этот предел существует. Вместе с тем будет дан и способом вычисления длины дуги. Введем обозначение Тогда

По теореме Лагранжа имеем где . Следовательно, .

Таким образом, длина вписанной ломаной равна

По условию, непрерывна, следовательно, функция тоже непрерывна. Поэтому существует предел написанной интегральной суммы, который равен определенному интегралу: . Итак, получили формулу для вычисления длины дуги:

Замечание 1. Исходя из последней формулы, можно получить производную от длины дуги по абсциссе. Если верхний предел интегрирования будем считать переменным и обозначим через интегрирования менять не будем), то длина дуги будет функцией от Дифференцируя этот интеграл по верхнему пределу, получим

Эта формула была получена в § 1 гл. VI при иных предположениях.

Пример 1. Определить длину окружности

Решение. Вычислим сначала длину четверюй части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги АВ будет откуда

Следовательно,

Длина всей окружности

Найдем теперь длину дуги кривой в том случае, когда уравнение кривой задано в параметрической форме:

где непрерывные функции с непрерывными производными, причем на заданном участке не обращается в нуль. В этом случае уравнения (4) определяют некоторую функцию непрерывную и имеющую непрерывную производную

Пусть Тогда, сделав в интеграле (2) подстановку получим

Замечание 2. Можно доказать, что формула (5) остается в силе и для таких кривых, которые пересекаются вертикальными прямыми более чем в одной точке (в частности, для замкнутых кривых), лишь бы во всех точках кривой были непрерывны обе производные

Пример 2. Вычислить длину астроиды Решение. Так как кривая симметрична относительно обеих координатных осей, то вычислим сначала длину ее четвертой части, расположенной в первом квадранте. Находим Параметр t будет изменяться от 0 до Следовательно,

Замечание 3. Если задана пространственная кривая параметрическими уравнениями

где (см. § 1 гл. IX), то длина ее дуги определяется же как и для плоской дуги) как предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина наибольшего звена стремится к нулю. Если функции непрерывны и имеют непрерывные производные на отрезке , то кривая имеет определенную длину (т. е. для нее существует вышеуказанный предел), которая вычисляется по формуле

Последний результат мы принимаем без доказательства.

Пример 3. Вычислить длину дуги винтовой линии при изменении t от 0 до

Решение. Из данных уравнений находим Подставляя в формулу (7), получим

Длина дуги кривой в полярных координатах.

Пусть в полярных координатах задано уравнение кривой

где — полярный радиус, — полярный угол.

Напишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: Если сюда вместо подставим его выражение (8) через 0, то получим уравнения Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой и для вычисления длины дуги применить формулу (5). Для этого найдем производные от и у по параметру

Тогда

Следовательно,

Пример 4. Найти длину кардиоиды

Рис. 240.

Изменяя полярный угол от 0 до , получим половину искомой длины. Здесь Следовательно,

Пример 5. Вычислить длину эллипса

предполагая, что

Решение. Для вычисления воспользуемся формулой (5). Вычислим сначала 1/4 длины дуги, т. е. длину дуги, соответствующей изменению

параметра от до

где Следовательно, Остается только вычислить последний интеграл. Но он, как известно, не выражается в элементарных функциях (см. § 14 гл. X). Этот интеграл можно вычислить только приближенными методами (например, по формуле Симпсона).

В частности, если большая полуось эллипса равна 5, а малая равна 4, то и длина эллипса равна Вычисляя последний интеграл по формуле Симпсона (деля отрезок на четыре части), получим приближенное значение интеграла: и, следовательно, длина дуги всего эллипса приближенно равна единицы длины.