ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Уравнения кривой в пространстве

Рассмотрим вектор начало которого совпадает с началом координат, а концом является некоторая точка (рис. 196). Такой вектор называют радиус-вектором.

Выразим этот вектор через проекции на оси координат:

Пусть проекции вектора суть функции некоторого параметра

Тогда формулу (1) можно переписать так:

или коротко

При изменении t изменяются , и точка А — конец вектора - опишет в пространстве некоторую линию, которую называют годографом вектора Уравнение или (Г) называют векторным уравнением линии в пространстве. Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями линии в пространстве. С помощью этих уравнений для каждого значения t определяются координаты соответствующей точки кривой.

Рис. 196.

Замечание. Кривая в пространстве может быть также определена как геометрическое место точек пересечения двух поверхностей; следовательно, такая кривая может быть задана двумя уравнениями двух поверхностей:

Так, например, уравнения

являются уравнениями окружности, получающейся в пересечении сферы и плоскости (рис. 197).

Итак, кривая в пространстве может быть задана или параметрическими уравнениями (2), или двумя уравнениями поверхностей (3).

Если мы исключим параметр t из уравнений (2) и получим два уравнения, связывающие , то тем самым осуществим переход от параметрического способа задания линии к заданию ее с помощью поверхностей.

Рис. 197.

Обратно, если положим произвольная функция) и найдем у и z как функции от t из уравнений

то осуществим переход от задания линии с помощью поверхностей к параметрическому способу задания.

Пример 1. Уравнения являются параметрическими уравнениями прямой. Исключая параметр получим два уравнения, каждое из которых есть уравнение плоскости. Например, если из первого уравнения почленно вычесть второе и третье, получим Вычитая же из первого учетверенное третье, получим Таким образом, заданная прямая является линией пересечения плоскостей

Пример 2. Рассмотрим прямой круговой цилиндр радиуса а, ось которого совпадает с осью Oz (рис. 198). На данный цилиндр будем навивать прямоугольный треугольник так, чтобы вершина А треугольника лежала в точке пересечения образующей цилиндра с осью а катет навивался на круговое сечение цилиндра, лежащее в плоскости Тогда гипотенуза образует на цилиндре линию, которая называется винтовой линией.

Напишем уравнение винтовой линии, обозначая через координаты ее переменной точки М и через t угол АОР (рис. 198). Тогда в, где через 0 обозначен острый угол

треугольника . Заметив, что , так как есть дуга круга радиуса а, соответствующая центральному углу и обозначив через , получаем параметрические уравнения винтовой линии в виде или в векторной форме;

Рис. 198.

Из параметрических уравнений винтовой линии легко исключить параметр возводя первые два уравнения в квадрат и складывая их, найдем Это — уравнение цилиндра, на котором расположена винтовая линия. Далее, деля почленно второе уравнение на первое и подставляя в полученное уравнение значение t, найденное из третьего уравнения, найдем уравнение другой поверхности, на которой расположена винтовая линия:

Это — так называемая винтовая поверхность (геликоид). Ее можно получить от движения полупрямой, пар алел ьной плоскости если конец этой полупрямой находится на оси причем сама полупрямая с постоянной угловой скоростью вращается вокруг оси и с постоянной скоростью поднимается вверх так, что ее конец перемещается вдоль оси Винтовая линия является линией пересечения этих двух поверхностей. Поэтому ее можно задать двумя уравнениями: