ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Уравнения кривой в пространстве
Рассмотрим вектор
начало которого совпадает с началом координат, а концом является некоторая точка
(рис. 196). Такой вектор называют радиус-вектором.
Выразим этот вектор через проекции на оси координат:
Пусть проекции вектора
суть функции некоторого параметра
Тогда формулу (1) можно переписать так:
или коротко
При изменении t изменяются
, и точка А — конец вектора
- опишет в пространстве некоторую линию, которую называют годографом вектора
Уравнение
или (Г) называют векторным уравнением линии в пространстве. Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями линии в пространстве. С помощью этих уравнений для каждого значения t определяются координаты
соответствующей точки кривой.
Рис. 196.
Замечание. Кривая в пространстве может быть также определена как геометрическое место точек пересечения двух поверхностей; следовательно, такая кривая может быть задана двумя уравнениями двух поверхностей:
Так, например, уравнения
являются уравнениями окружности, получающейся в пересечении сферы и плоскости (рис. 197).
Итак, кривая в пространстве может быть задана или параметрическими уравнениями (2), или двумя уравнениями поверхностей (3).
Если мы исключим параметр t из уравнений (2) и получим два уравнения, связывающие
, то тем самым осуществим переход от параметрического способа задания линии к заданию ее с помощью поверхностей.
Рис. 197.
Обратно, если положим
произвольная функция) и найдем у и z как функции от t из уравнений
то осуществим переход от задания линии с помощью поверхностей к параметрическому способу задания.
Пример 1. Уравнения
являются параметрическими уравнениями прямой. Исключая параметр
получим два уравнения, каждое из которых есть уравнение плоскости. Например, если из первого уравнения почленно вычесть второе и третье, получим
Вычитая же из первого учетверенное третье, получим
Таким образом, заданная прямая является линией пересечения плоскостей
Пример 2. Рассмотрим прямой круговой цилиндр радиуса а, ось которого совпадает с осью Oz (рис. 198). На данный цилиндр будем навивать прямоугольный треугольник
так, чтобы вершина А треугольника лежала в точке пересечения образующей цилиндра с осью
а катет
навивался на круговое сечение цилиндра, лежащее в плоскости
Тогда гипотенуза образует на цилиндре линию, которая называется винтовой линией.
Напишем уравнение винтовой линии, обозначая через
координаты ее переменной точки М и через t угол АОР (рис. 198). Тогда
в, где через 0 обозначен острый угол
треугольника
. Заметив, что
, так как
есть дуга круга радиуса а, соответствующая центральному углу и обозначив
через
, получаем параметрические уравнения винтовой линии в виде
или в векторной форме;
Рис. 198.
Из параметрических уравнений винтовой линии легко исключить параметр
возводя первые два уравнения в квадрат и складывая их, найдем
Это — уравнение цилиндра, на котором расположена винтовая линия. Далее, деля почленно второе уравнение на первое и подставляя в полученное уравнение значение t, найденное из третьего уравнения, найдем уравнение другой поверхности, на которой расположена винтовая линия:
Это — так называемая винтовая поверхность (геликоид). Ее можно получить от движения полупрямой, пар алел ьной плоскости
если конец этой полупрямой находится на оси
причем сама полупрямая с постоянной угловой скоростью вращается вокруг оси
и с постоянной скоростью поднимается вверх так, что ее конец перемещается вдоль оси
Винтовая линия является линией пересечения этих двух поверхностей. Поэтому ее можно задать двумя уравнениями: