§ 18. Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями

Предположим, что эти функции имеют производные и что функция имеет обратную , которая также имеет производную. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию можно рассматривать как сложную функцию промежуточный аргумент.

По правилу дифференцирования сложной функции получим

На основании теоремы о дифференцировании обратной функции следует . Подставляя последнее выражение в равенство (2), получаем или

Выведенная формула дает возможность находить производную от функции, заданной параметрически, не находя выражения непосредственной зависимости у от х.

Пример 1. Функция у от х задана параметрическими уравнениями

Найти производную 1) при любом значениии при

Решение.

Пример 2. Найти угловой коэффициент касательной к циклоиде

в произвольной точке .

Решение. Угловой коэффициент касательной в каждой точке равен значению производной в этой точке, т. е. равен

Но

Следовательно,

Следовательно, угловой коэффициент касательной к циклоиде в каждой ее точке равен где - значение параметра, соответствующее этой точке. Но это значит, что угол а наклона касательной к оси равен — (для значений t между