§ 18. Производная функции, заданной параметрически
Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями
Предположим, что эти функции имеют производные и что функция 
имеет обратную 
, которая также имеет производную. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию 
можно рассматривать как сложную функцию 
промежуточный аргумент.
По правилу дифференцирования сложной функции получим
На основании теоремы о дифференцировании обратной функции следует 
. Подставляя последнее выражение в равенство (2), получаем 
или
Выведенная формула дает возможность находить производную 
от функции, заданной параметрически, не находя выражения непосредственной зависимости у от х.
Пример 1. Функция у от х задана параметрическими уравнениями
Найти производную 1) при любом значениии 
при 
Решение.
Пример 2. Найти угловой коэффициент касательной к циклоиде
в произвольной точке 
.
Решение. Угловой коэффициент касательной в каждой точке равен значению производной 
в этой точке, т. е. равен
Но
Следовательно,
Следовательно, угловой коэффициент касательной к циклоиде в каждой ее точке равен 
где 
- значение параметра, соответствующее этой точке. Но это значит, что угол а наклона касательной к оси 
равен — (для значений t между 
