3. Ориентация многообразия и его края.

Определение 10. Две карты гладкого многообразия называются согласованными, если переход от локальных координат одной карты к локальным координатам другой карты в их общей области действия осуществляется диффеоморфизмом, имеющим всюду положительный якобиан.

В частности, если районы действия локальных карт имеют пустое пересечение, то такие карты признаются согласованными.

Определение 11. Атлас А гладкого многообразия называется ориентирующим атласом многообразия М, если он состоит из попарно согласованных карт.

Определение 12. Многообразие называется ориентируемым, если оно обладает ориентирующим атласом. В противном случае многообразие называется неориентируемым.

Два ориентирующих атласа многообразия будем считать эквивалентными (в смысле рассматриваемого сейчас Вопроса об ориентации многообразия), если их объединение также является ориентирующим атласом этого многообразия. Легко видеть, что введенное отношение действительно является отношением эквивалентности.

Определение 13. Класс эквивалентности ориентирующих атласов многообразия по указанному отношению эквивалентности называется классом ориентации атласов многообразия или ориентацией многообразия.

Определение 14. Ориентированным многообразием называется многообразие с указанным классом ориентации его атласов, т. е. с фиксированной на многообразии ориентацией.

Значит, ориентировать многообразие — это указать на нем (тем или иным способом) определенный класс ориентации его атласов. Для этого, например, достаточно указать любой конкретный ориентирующий атлас данного класса ориентации.

Различные используемые на практике способы задания ориентации на лежащих в многообразиях описаны в §§ 2, 3 гл. XII.

Утверждение 3. Связное многообразие либо неориентируемо, либо допускает две ориентации.

Пусть А и — два ориентирующих атласа данного многообразия М с диффеоморфными переходами от локальных координат карт одного из них к другому. Предположим, что нашлась точка и такие две карты этих атласов, районы действия которых содержат а якобиан преобразования координат этих карт в соответствующих точке точках областей параметров положителен. Покажем, что тогда для любой точки и любых карт атласов районы действия которых содержат точку р, якобиан преобразования координат в соответствующих координатных точках тоже будет положителен.

Сделаем прежде всего очевидное наблюдение, что если в точке якобиан преобразования положителен (отрицателен) для какой-то пары включающих карт из атласов А и А, то он в положителен (отрицателен) для любой такой пары карт, поскольку в пределах одного атласа преобразования координат происходят с положительным якобианом, а якобиан композиции отображений равен произведению их якобианов.

Пусть теперь Е — подмножество М, состоящее из тех точек , в которых преобразования координат от карт одного атласа к картам другого происходят с положительным якобианом.

Множество Е непусто, так как Множество Е открыто в М. Действительно, для любой точки найдутся содержащие районы некоторых карт атласов . Множества открыты в М, поэтому открыто в М и множество На содержащей связной компоненте множества являющейся открытым в и в М множеством, якобиан преобразования не может менять знак, не обращаясь в нуль. То есть в некоторой окрестности точки якобиан остается положительным, что и доказывает открытость множества Е. Но множество Е еще и замкнуто в М. Это следует из непрерывности якобиана диффеоморфизма и того обстоятельства, что якобиан диффеоморфизма не обращается в нуль.

Итак, Е — непустое открыто-замкнутое подмножество связного множества М. Значит, и атласы задают на М одну и ту же ориентацию.

Заменив во всех картах атласа одну из координат, например на — получим ориентирующий атлас — А, принадлежащий

другому классу ориентации. Поскольку якобиан преобразования координат из произвольной карты в карты атласов А и — А имеет противоположный знак, то на М любой ориентирующий М атлас эквивалентен либо А, либо — А.

Определение 15. Конечную последовательность карт данного атласа назовем цепочкой карт, если районы действия любой нары карт с соседними номерами имеют непустое пересечение

Определение 16. Цепочка карт называется противоречивой или дезориентирующей, если якобиан преобразования координат от любой карты цепочки к следующей ее карте положителен, районы действия первой и последней карт цепочки пересекаются, но преобразование координат от последней карты к первой имеет отрицательные значения якобиана.

Утверждение 4. Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда на нем не существует противоречивой цепочки карт.

Поскольку, любое многообразие распадается на связные компоненты, ориентация которых задается независимо, достаточно доказать утверждение 4 для связного многообразия М.

Необходимость. Пусть связное многообразие М ориентируемо и А — задающий ориентацию М, атлас. По доказанному в утверждении 3 любая гладко связанная с картами атласа А локальная карта многообразия М либо согласована со всеми картами атласа А, либо согласована со всеми картами атласа — А. Это легко усмотреть из самого утверждения 3, если сузить карты атласа А на район действия взятой карты, который можно рассматривать как связное ориентированное одной картой многообразие. Отсюда следует, что противоречивой цепочки карт на многообразии М не существует.

Достаточность. Из определения 1 следует, что на многообразии существует атлас из конечного или счетного числа карт. Возьмем такой атлас А и занумеруем его карты. Рассмотрим карту и любую карту такую, что Тогда якобиан преобразований координат либо всюду отрицателен, либо всюду в области определения преобразований положителен. Он не может иметь значения разных знаков, поскольку иначе в множестве можно было бы указать связные подмножества отрицательности и положительности якобиана и цепочка карт .) оказалась бы противоречивой.

Итак, меняя, если потребуется, знак одной из координат в карте можно получить карту с тем же районом действия согласованную с картой После описанной процедуры две карты такие, что сами окажутся согласованными: иначе мы построили бы противоречивую цепочку из трех карт.

Таким образом, все карты атласа, районы действия которых пересекаются с уже можно считать согласованными между собой. Принимая теперь каждую из этих карт за эталон, можно согласовать с нею новые, не охваченные на первом этайе карты атласа. Противоречивых ситуаций при этом не возникнет, поскольку противоречивых цепочек на многообразии по условию не существует. Продолжая этот процесс и учитывая связность многообразия, мы построим на нем атлас, состоящий из попарно согласованных карт, что и доказывает ориентируемость данного многоббразия.

Полученный критерий ориентируемости многообразия, как, впрочем, и соображения, используемые при его доказательстве, можно с успехом применять при исследовании конкретных многообразий. Так, рассмотренное в примере 12 многообразие ориентируемо. Из указанного там атласа легко получить ориентирующий атлас Для этого достаточно изменить знак локальной координаты одной из двух построенных там карт. Впрочем, ориентируемость проективной прямой очевидно, следует также из того, что многообразие гомеоморфно окружности.

Проективная плоскость неориентируема: любая пара карт построенного в примере 13 атласа такова, что преобразования координат в пределах пары имеют как области положительности, так и области отрицательности якобиана. Как мы видели при. доказательстве утверждения 4, отсюда следует существование противоречивой цепочки карт на

По той же причине неориентируемо и рассмотренное в примере 14 многообразие, которое, кстати, как отмечалось, гомеоморфно листу Мёбиуса.

Утверждение 5. Край ориентируемого гладкого -мерного многообразия является ориентируемым -мерным многообразием, допускающим структуру той гладкости, что и исходное многообразие.

Доказательство утверждения 5 проводится дословно так же, как и рассмотренное в гл. XII, § 3, п. 2 доказательство аналогичного утверждения 2 для поверхностей, лежащих в

Определение 17. Если — ориентирующий многообразие М атлас, то есть ориентирующий атлас края многообразия М. Задаваемая этим атласом ориентация края называется ориентацией края, согласованной с ориентацией многообразия.

Важные и часто используемые на практике способы задания ориентации лежащей в поверхности и согласованной ориентации ее края подробно описаны, в §§ 2, 3 гл. XII.