§ 4. Связные топологические пространства
Определение 1. Топологическое пространство 
называется связным, если в нем нет других открыто-замкнутых подмножеств, кроме самого X и пустого множества.
Это определение становится более прозрачным с точки зрения нашей интуиции, если ему придать следующую форму.
Топологическое пространство связно тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде объединения двух 
непростых замкнутых (открытых) подмножеств без общих точек.
Определение 2. Множество Е в топологическом пространстве 
называется связным, если оно связно как топологическое подпространство 
(с индуцированной топологией).
Из этого определения и определения 1 вытекает, 
свойство множества Е быть связным не зависит от объемлющего пространства. Точнее, если 
— топологическке пространства, содержащие Е и индуцирующие на Е одну и ту же топологию» то Е связно или нет одновременно как в X, так 
.
Пример 1. Пусть 
Множество 
непусто, не совпадает с 
то же время открыто-замкнуто в Е (как и 
если рассматривать Е как топологическое пространство с топологией, индуцированной стандартной топологией 
Таким образом, Е не связно, как и подсказывает наша интуиция.
Утверждение (о связных подмножествах 
Не пустое множество 
связно тогда и только тогда, когда для любых 
принадлежащих Е, из 
следует, что 
Таким образом, на прямой связными являются только промежутки (конечные или бесконечные): интервалы, полуинтервалы, отрезки.
Необходимость. Пусть 
связное подмножество 
тройка точек 
с такова, что а 
. но 
хотя
Полагая 
внднм, что 
Кроме того, 
и оба множества А, В открыты в Е. Это противоречит связности Е.
Достаточность. Пусть Е — подпространство 
обладающее тем свойством, что вместе с любой парой точек а и 
ему принадлежит и всякая промежуточная точка отрезка 
Покажем, что Е связно.
Предположим, что А — открыто-замкнутое подмножество Е, причем 
Пусть 
. Для определенности будем считать, что 
так как 
Рассмотрим точку 
Поскольку 
имеем 
. Ввиду замкнутости А в Е заключаем, что 
.
Рассматривая теперь точку 
, аналогично, ввиду замкнутости В заключаем, что 
. Таким образом, 
поскольку 
Но из определений 
и того, что 
теперь вытекает, что ни одна точка интервала 
не может принадлежать Е. Это противоречит исходному свойству Е. Таким образом, множество Е не может иметь подмножества А с указанными свойствами, что и доказывает связность Е.
Задачи и упражнения
(см. скан)
