переписать в виде сие 
. Отсюда следует, что 
йогв 
. Таким образом, мы получаем следующее необходимое условие
которому в области 
должно удовлетворять поле В, чтобы оно Могло иметь векторный потенциал, т. е. чтобы оно могло быть ротором некоторого векторного поля А в этой области
Поле, удовлетворяющее условию (7), часто, особенно в физике, называют соленоидальным полем.
Пример 5. В § 1 мы выписали систему (12) уравнений Максвелла. Второе из уравнений этой системы как раз совпадает с равенством (7). Таким образом, естественно появляется желание считать магнитное поле В ротором некоторого векторного поля А — векторного потенциала поля В. Именно к такому векторному потенциалу и переходят при решении системы уравнений Максвелла.
Как видно из определений 1 и 6, вопросы о скалярном и векторном потенциале векторных полей (последний вопрос при этом мы ставили только в 
являются частными случаями общего вопроса о том, когда дифференциальная 
-форма 
является дифференциалом 
некоторой формы 
Определение 7. Дифференциальная форма 
называется точной в области 
если в этой области существует такая форма 
что 
Если форма 
точна в 
то 
Таким образом, условие
является необходимым условием точности формы и.
Как мы уже видели (пример 4), не всякая форма, удовлетворяющая этому условию, является Точной, поэтому вводится
Определение 8. Дифференциальная форма и называется замкнутой в области 
если в этой области она удовлетворяет условию 
Имеет место
Теорема (лемма Пуанкаре). Если форма замкнута в шаре, то она и точна в нем.
Здесь уже речь идет о шаре в 
и о форме любого порядка, поэтому утверждение 2 является простейшим частным случаем этой теоремы.
Лемму Пуанкаре можно истолковать и так: необходимое условие (8) точности формы локально является и достаточным, т. е. для любой точки области, где выполнено условие (8), найдется такая ее окрестность, в которой форма 
точна.
В частности, если векторное поле В удовлетворяет условию (7), то из леммы Пуанкаре следует, что по крайней мере локально оно является ротором некоторого векторного поля А
Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой важной теоремы (желающие прочитают его в гл. XV), а предпочтем в заключение (опираясь на сведения об 
-формах) пояснит в общих чертах связь вопроса о точности замкнутых форм с топологией области их задания.
Пример 6. Рассмотрим плоскость 
с двумя выколотыми точками 
(рис. 95) и изображенные на рисунке их носителями пути 
Путь 
в пределах рассматриваемой области 
можно стянуть в точку, поэтому если в 
задана замкнутая форма и, то интеграл от нее по у равен нулю. Путь 
нельзя стянуть в точку, но, не меняя значения интеграла от формы и, этот путь можно прогомотопировать в путь 
Интеграл по пути 
очевидно, сводится к интегралу по одному циклу, обходящему по часовой стрелке точку 
и удвоенному интегралу по циклу, обходящему точку 
против часовой стрелки Если через 
обозначить интегралы от нашей формы и по малым окружностям, охватывающим соответственно точки и 
и проходимым, например, против часовой стрелки, то можно понять, что интеграл от формы и по любому замкнутому пути в области 
будет равен 
где 
— некоторые целые числа, указывающие, сколько раз и в каком направлении мы обошли каждую из дырок 
плоскости 
Окружности 
зацепляющие 
служат как бы базисом, в котором любой замкнутый путь 
с точностью до не влияющей на интеграл гомотопии, имеет вид 
Рис. 95
Величины § 
называют циклическими постоянными или периолами интеграла. Если область более сложная и в ней имеется 
штук независимых простейших циклов, то в соответствии с разложением 
получится, что 
Оказывается для любого набора 
чисел в такой области можно построить замкнутую 
-форму, которая будет иметь именно такой набор периодов (это частный случай теоремы Де Рама; см. гл. XV).
Для наглядности мы обратились к рассмотрению цлоской области, но все сказанное можно повторить и для любой области 
Пример 7. В полнотории (области, ограниченной в 
тором) все замкнутые пути, очевидно, гомотопны сколько-то раз пробегаемой
окружности, охватывающей дырку. Эта окружность и составит здесь единственный не точечный базисный цикл с.
Более того, все сказанное можно повторить и для путей высших размерностей. Если вместо одномерных замкнутых путей — отображений окружности или, что то же самое, отображений Одномерной сферы, брать отображения 
-мерной сферы, ввести для них понятие гомотопии и смотреть, сколько таких негомотопных между собой отображений 
-мерной сферы в данную область 
существует, то получится некоторая характеристика области 
которая в топологии оформляется в так называемую 
гомотопическую группу области 
и обозначается 
Если все отображения 
-мерной сферы в 
гомотопны постоянному отображению, то считается, что труппа 
тривиальна (состоит только из одного элемента). Может так случиться, что 
тривиальна, 
не тривиальна.
Пример 8. Если в качестве 
взять пространство 
с выброшенной из него точкой О, то, очевидно, любой замкнутый путь в такой области стягивается в точку, а сферу, охватывающую выброшенную из 
точку О,- нельзя в пределах этой области прогомотопировать в точку.
Оказывается, за периоды замкнутой 
-формы ответственна не совсем гомотопическая группа 
а так называемая группа гомологий 
(см. гл. XV), но в примерах, которые мы приводим, эти группы совпадают.
Пример 9. Из сказанного можно заключить, что, например, в облдсти 
всякая замкнутая 
-форма точна 
односвязная область), но не всякая замкнутая 
-форма является точной. На языке векторных полей это означает, что любое безвихревое поле А в 
является градиентом некоторой функции, но не всякое поле В без источников 
является в этой области ротором некоторого поля. -
Пример 10. В противовес цримеру 9 возьмем в качестве области 
полноторие. Для полнотория группа 
не тривиальна (см. пример 7), а 
тривиальна, поскольку любое отображение 
двумерной сферы в 
стягивается в постоянное (образ сферы стягивается 
В этой области не всякое безвихревое поле потенциально, но всякое поле без источников является ротором некоторого поля.
Задачи и упражнения
(см. скан)
если в этой области выполняется соотношение 
а также определение ротора векторного поля, то соотношение 
можно
