3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций, зависящих от параметра.

При обсуждении постановки вопросов мы ограничились выше рассмотрением предела последовательностей функций. Последовательность функций — это важнейший частный случай семейства функций зависящих от параметра когда Последовательности функций, таким образом, занимают здесь то же место, какое в теории предела функций занимает теория предела последовательности. О пределе последовательности функций и связанной с ней теорией сходимости рядов функций мы будем подробно говорить в § 2, а здесь обсудим основные

для всего дальнейшего понятия сходимости и равномерной сходимости семейства функций, зависящих от параметра.

Определение 5. Функцию двух переменных определенную на множестве называют семейством функций, зависящих от параметра если по тем или иным причинам переменная выделяется и называется параметром.

Множество Т при этом называют множеством или областью значений параметра, а само семейство часто записывают в виде или , явно выделяя параметр.

Нам, как правило, придется в этой книге рассматривать такие семейства функций, для которых областью параметров Т являются множества натуральных, действительных или комплексных чисел соответственно или их подмножества, хотя, вообще говоря, множество Т может быть любой природы. Так, в рассмотренных выше примерах 1—5 было . В примерах при этом можно было бы без потери их содержательности считать, что параметр есть любое положительное число, а предел берется по базе

Определение 6. Пусть - семейство функций, зависящих от параметра, и пусть — база в множестве Т значений параметра.

Если при фиксированном значении существует предел то говорят, что семейство функций сходится в точке х.

Множество всех таких точек сходимости называется множеством сходимости семейства функций при данной базе

Определение 7. Говорят, что семейство функций сходится на множестве при базе если оно сходится при этой базе в каждой точке

Функция на Е называется предельной функцией или пределом семейства функций на множестве Е при базе

Пример 7. Пусть — база Это семейство сходится на всем множестве причем если

Теперь дадим два основных определения.

Определение 8. Говорят, что семейство функций сходится поточечно (или просто сходится) на множестве при базе к функции если в любой точке

В этом случае мы часто будем писать ( на Е).

Определение 9 Говорят, что семейство функций сходится равномерно на множестве при базе к функции если для любого найдется

такой элемент В базы что при любом значении любвй точке выполняется неравенство

В этом случае мы часто будем писать на

Приведем еще формальную запись этих важных определений:

Соотношение между сходимостью и равномерной сходимостью напоминает соотношение между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции на множестве.

Чтобы лучше уяснить взаимоотношение сходимости и равномерной сходимости семейства функций, введем величину измеряющую отклонение значения функции от значения функции в точке Рассмотрим также величину характеризующую, грубо говоря, максимальное (хотя его может и не быть) по всем точкам отклонение значений функции от соответствующих значений функции Таким образом, в любой точке имеем

В этих обозначениях приведенные определения, очевидно, можно записать следующим образом:

Теперь ясно, что

т. е. если семейство сходится равномерно к функции на множестве Е, то оно и поточечно сходится к на этом множестве. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Пример 8. Рассмотрим семейство функций определенных на отрезке и зависящих от параметра График функции изображен на рис. 99. Ясно, что в любой точке при . Вместе с тем при и, значит, семейство сходится, но не сходится равномерно.

Будем для удобства в таких случаях говорить, что семейство сходится к предельной функции неравномерно.

Если параметр интерпретировать как время, то сходимость семейства функций на множестве Е к функции означает, что

при любой заданной точности для любой точки можно указать момент начиная с которого, т. е. при значения всех функций в точке х будут отличаться от значения меньше чем на .

Равномерная же сходимость означает, что наступит момент начиная с которого, т. е. при уже сразу во всех точках будет выполнено соотношение

Для неравномерной сходимости типична изображенная на рис. 99 картина бегущего горба большого уклонения.

Рис. 99

Пример 9. Последовательность заданных на отрезке функций как легко видеть, в любой точке х этого отрезка стремится к нулю при Чтобы выяснить, номерная ли эта сходимость, найдем величину

Поскольку при то ясно, что

Но при значит, наша последовательность сходится к предельной функции неравномерно.

Пример 10. Рассмотренная в примере 1 последовательность функций на отрезке сходится к функции (0, если неравномерно, так как при любом

Пример 11. Рассмотренная в примере 2 последовательность функций сходится к нулю равномерно на всем множестве при так как в данном случае

и, значит, при