4. Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхностей в R^n.

Здесь будет изложена одна специальная конструкция, называемая в математике разбиением единицы. Эта

конструкция часто бывает основным приемом сведения глобальных вопросов к локальным. В дальнейшем мы продемонстрируем это при выводе формулы Стокса на многообразии, а здесь используем разбиение единицы для пояснения возможности реализации любого многообразия в виде некоторой поверхности в пространстве достаточно большой размерности

Лемма. На можно построить функцию такую, что при при при

Проведем построение одной такой функции, исходя из знакомой нам функции в свое время (см. часть I, стр. 232) мы проверили, что показав, что при любом значении

В таком случае неотрицательная функция

также принадлежит классу а вместе с нею и функция

принадлежит этому классу, поскольку

Функция строго возрастает на промежутке при 1 и при

В качестве искомой функции можно теперь взять

Замечание. Если — построенная в доказательстве леммы функция, то определенная в функция

такова, что в в любой точке на промежутке и носитель функции 0 содержится в промежутке

Определение 18. Пусть М — многообразие класса гладкости подмножество М. Говорят, что система функций является -гладким разбиением единицы на множестве X, если

для любой функции и любого

2° каждая точка обладает такой окрестностью в М, что только конечное число функций системы Е отлично от. тождественного нуля на

Заметим, что в силу условия 2° при любом в послед ней сумме лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.

Определение 19. Пусть — открытое покрытие множества . Говорят, что разбиение единицы на X подчинено покрытию если носитель любой функции из системы Е содержится по крайней мере в одном из множеств системы

Утверждение 6. Пусть — конечный набор карт некоторого -гладкого атласа многообразия М, районы действия которых образуют покрытие компакта . Тогда на существует разбиение единицы класса подчиненное покрытию

А Для любой точки проведем сначала следующее построение. Берем последовательно область содержащую соответствующую карту точку функцию (где указанная в замечании к лемме функция) и сужение функции на область параметров карты

Пусть — пересечение единичного куба с центром и области параметров карты Реально отличается, от от соответствующего единичного куба, только когда областью параметров карты является полупространство Открытые в М множества построенные по каждой точке и соответствующей ей точке для всех допустимых значений в совокупности образуют открытое покрытие компакта Пусть — извлеченное из него конечное покрытие компакта Очевидно, Определим на функцию Распространим на все многообразие М, полагая функцию равной нулю вне Сохраним за этой распространенной на М функцией прежнее обозначение По построению на на Тогда функции составят искомое разбиение единицы. Проверим лишь, что на поскольку остальным требованиям к разбиению единицы на подчиненному покрытию компакта - система функций

очевидно, удовлетворяет. Но

поскольку каждая точка покрыта некоторым множеством на котором соответствующая функция тождественно равна единице.

Следствие 1. Если — компактное многообразие и А — атлас класса на М, то на М существует конечное разбиение единицы подчиненное покрытию многообразия районами действия карт атласа А.

Поскольку М — компакт, атлас А можно считать конечным. Теперь мы оказываемся в условиях утверждения 6, если положить в нем

Следствие 2. Для любого лежащего на многообразии М компакта и любого содержащего открытого множества существует функция класса гладкости многообразия М такая, что на

Покроем каждую точку окрестностью лежащей в и в пределах района действия некоторой карты многообразия М. Из открытого покрытия компакта извлекаем конечное покрытие и строим подчиненное ему разбиение единицы на . Функция будет искомой.

Следствие 3. Каждое (абстрактно заданное) компактное гладкое -мерное многообразие М диффеоморфно некоторой компактной гладкой поверхности, лежащей в пространстве достаточно большой размерности

Чтобы не осложнять идею доказательства несущественными деталями, проведем его для случая компактного многообразия М без края. В этом случае на М есть гладкий конечный атлас где — открытый -мерный куб в Подберем чуть меньший куб Г такой, что а множества все еще образуют покрытие М. Полагая в следствии построим функцию такую, что при

Рассмотрим теперь координатные функции отображений и введем с их помощью следующие функции:

В любой точке ранг отображения максимален и равен Действительно, если то

Если, наконец, рассмотреть отображение полагая вне то это отображение, с одной стороны, очевидно, будет иметь тот же ранг что и отображение а с другой стороны, будет заведомо взаимно однозначным отебражением М на образ М в Проверим последнее утверждение. Пусть — различные точки М. Найдем область из системы покрывающей М, которая содержит точку . Тогда Если то уже Если же то хотя бы для одного значения есть и в этом случае

По поводу общей теоремы Уитни о реализации произвольного многообразия в виде поверхности в читатель может обратиться к специальной геометрической литературе.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)