4. Некоторые замечания.

В связи с обозначением (11) рассмотрим полезный и используемый уже в следующем параграфе Пример. Пусть есть -линейный непрерывный оператор, действующий из прямого произведения линейных нормированных пространств в линейное нормированное пространство

В примере 5 предыдущего параграфа было показано, что А является дифференцируемым отображением

причем

Таким образом, если и если А — симметрический оператор, то

Значит, если рассмотреть функцию , определяемую условием

то она окажется дифференцируемой и

т. е. в этом случае

В частности, если отображение (1) имеет в некоторой точке дифференциал то функция дифференцируема и

Заканчивая обсуждение понятия производного отображения порядка, полезно еще отметить, что если исходная функция (1) определена на множестве I) пространства X, являющегося прямым произведением нормированных пространств то можно говорить о частных производных отображениях первого и более высокого порядка от функции по переменным

На основании теоремы 2 из § 4 в этом случае по индукции получаем, что если в некоторой точке все частные производные отображения непрерывны; то в этой точке отображение имеет дифференциал порядка

Если учесть еще результат примера 2 из того же параграфа, то можно заключить, что отображение непрерывно чтогда и только тогда, когда непрерывны все частные производные отображения 1) порядка (или, что то же самое, до порядка включительно) исходного отображения

Класс отображений (1), имеющих в непрерывные производные отображения до порядка включительно, обозначают символом или, если не возникает недоразумений, более коротким символом или даже

В частности, если то сделанное выше заключение можно коротко записать в виде

где С, как всегда, символ соответствующего множества непрерывных функций.

Задачи и упражнении

(см. скан)