4. Интегрирование и предельный переход.

Теорема 3. Пусть — семейство функций определенных на отрезке и зависящих от параметра — база в Т. Если функции семейства интегрируемы на на при базе то предельная функция тоже интегрируема на отрезке и

Пусть — разбиение Р отрезка отмеченными точками Рассмотрим интегральные суммы Оценим разность Поскольку на при базе для любого можно найти такой элемент В базы что при любом в любой точке будет выполнено неравенство Значит, при

и эта оценка справедлива не только при любом значении , но при любом разбиении из множества разбиений отрезка с отмеченными точками. Таким образом, на при базе Теперь, взяв в традиционную базу по теореме 1 находим, что коммутативна следующая диаграмма:

что и доказывает сформулированную теорему

Следствие 4. Если ряд из интегрируемых на отрезке функций сходится равномерно на этом отрезке, то его сумма тоже интегрируема на отрезке

Пример 4. В этом примере, записывая будем считать, что при это отношение равно единице.

В свое время мы отмечали, что функция не является элементарной. Используя доказанные теоремы, можно, тем не менее, получить достаточно простое представление этой функции в виде степенного ряда.

Для этого заметим, что

и стоящий справа ряд сходится равномерно на любом отрезке Равномерная сходимость ряда следует из мажорантного признака Вейерштрасса равномерной сходимости ряда, поскольку при в то время как числовой ряд сходится.

На основании следствия 4 теперь можно написать

Полученный ряд, кстати, тоже сходится равномерно на любом отрезке числовой оси, поэтому, какой бы отрезок изменения аргумента х ни указать и какую бы ни назначить допустимую абсолютную погрешность, можно подобрать многочлен — частичную сумму полученного ряда, который в любой точке отрезка позволит вычислить с погрешностью не превышающей заданной.