2. Производная по вектору и вычисление значений n-го дифференциала.

При конкретизации абстрактного определения 1 может быть удачно использовано понятие производной по вектору, которое для общего отображения (1) вводится так же, как это в свое время было сделано в случае

Определение 2. Если X и — линейные нормированные пространства над полем то производной отображения (1) в точке по вектору назовем предел

если указанный предел в существует.

Непосредственно проверяется, что

и что если отображение дифференцируемо в точке то оно имеет в этой точке производную по любому вектору, причем

и в силу линейности касательного отображения

Из определения 2 видно также, что значение производной отображения по вектору есть элемент линейного пространства , и что если — линейное непрерывное

отображение в некоторое нормированное пространство то

Попробуем теперь истолковать значение дифференциала отображения в точке х на наборе векторов

Начнем с . В этом случае по формуле (5)

Рассмотрим теперь случай Поскольку то, фиксировав вектор мы сопоставляем ему по закону

линейный оператор а вычислив затем значение этого оператора на векторе , мы получим элемент

пространства

Но

поэтому

Если то спаривание можно рассматривать не только как отображение из X в но и как отображение из в причем это последнее отображение, как и первое, является линейным.

Сравнив теперь соотношения (5), (7) и (9), можем записать, что

Таким образом, окончательно получаем

Аналогично можно показать, что при любом имеет место соотношение

причем дифференцирование по векторам выполняется последовательно, начиная от дифференцирования по и кончая дифференцированием по