§ 7. Общая теорема о неявной функции

В этом заключительном параграфе главы почти весь развитый в ней аппарат будет продемонстрирован в работе на примере исследования неявно заданной функции. Представление о содержании и месте теоремы о неявной функции в анализе и его приложениях читатель уже имеет из гл. VIII, поэтому мы не останавливаемся здесь на предваряющих формализм пояснениях существа дела. Отметим только, что на сей раз неявно заданная функция будет построена совсем иным методом, опирающимся на принцип сжатых отображений. Этот метод часто используется в анализе и весьма полезен ввиду его вычислительной эффективности.

Теорема. Пусть — нормированные пространства, причем полное пространство; — окрестность точки в произведении пространств

Если отображение удовлетворяет условиям

непрерывно в точке

определено в и непрерывно в

обратимый оператор,

то найдутся окрестность точки в X, окрестность точки в и отображение тате, что:

непрерывно в точке

1° Для упрощения записи и, очевидно, без ограничения общности рассмотрения можно считать, что и, следовательно,

2° Основную роль в доказательстве теоремы играет вспомогательное семейство отображений

зависящих от параметра и определенных на множестве

Обсудим формулу (1). Прежде всего выясним, корректно ли определены отображения и где лежат их значения.

При определено отображение значение которого на паре лежит в пространстве Частное производное отображения в любой точке как мы знаем, есть линейное непрерывное отображение пространства в пространство

По условию 4 отображение имеет непрерывное обратное отображение Значит, композиция действительно определена и ее значения лежат в пространстве

Итак, при любом х из -окрестности точки есть отображение, -окрестности точки в пространство

Связь отображений (1) с задачей разрешения относительно переменной у уравнения состоит, очевидно, в том, что точка является неподвижной точкой отображения тогда и только тогда, когда

Зафиксируем это важное наблюдение:

Таким образом, отыскание и исследование неявно заданной функции сводится к отысканию неподвижных точек отображений (1) и исследованию их зависимости от параметра х.

3° Покажем, что существует положительное число такое, что при любом удовлетворяющем условию отображение шара в является сжимающим отображением с коэффициентом сжатия, не превосходящим, например, числа 1/2.

Действительно, при любом фиксированном отображение дифференцируемо, что следует из условия 3 и теоремы о дифференцировании композиции отображений, причем

В силу непрерывности в точке (0, 0) (условие 3) найдется такая окрестность точки в которой

Здесь мы пользуемся тем, что т. е.

Всюду дальше будем считать, что поэтому имеет место оценка (4).

Таким образом, при любом и любых по теореме о конечном приращении мы действительно получаем теперь, что

4° Для того чтобы утверждать существование неподвижной точки отображения нам надо иметь такое полное метрическое пространство, которое при этом отображении переходит в себя (быть может, и не на себя).

Проверим, что для любого числа удовлетворяющего условиям найдется такое число из интервала что прилюбом б) отображение преобразует замкнутый шар в себя, т. е. .

Действительно, сначала по подберем число так, чтобы при иметь

ЫОЛНИО,

Это можно сделать благодаря условиям 1 и 2, в силу которых непрерывно в точке (0, 0).

Если теперь то из (5) и (6) получаем

и, значит, при

Как замкнутое подмножество полного метрического пространства замкнутый шар сам является полным метрическим пространством.

5° Сопоставляя соотношения (5) и (7), на основании принципа неподвижной точки (см. гл. IX, § 7) теперь можно утверждать, что при каждом найдется единственная точка которая является неподвижной точкой отображения .

В силу основного соотношения (2) отсюда следует, что так построенная функция уже обладает свойством 2, а значит, и свойством 3, поскольку по условию 1.

Свойство Г окрестностей V и V следует из того, что по построению

Наконец, непрерывность функции в точке т. е. свойство 4, следует из 2 и того, что, как было показано в доказательства, для любого числа найдется такое число что любом выполнено

нено , т. е. единственная неподвижная точка отображения при удовлетворяет условию

Мы доказали теорему существования неявной функции. Сделаем теперь ряд дополнений о свойствах этой функции, порождаемых свойствами исходной функции

Дополнение 1 (о непрерывности неявной функции). Если в дополнение к условиям теоремы известно, что отображение непрерывно не только в точке но и в некоторой ее окрестности, то найденная функция будет непрерывна не только в точке но и в некоторой ее окрестности.

Из условий 3 и 4 теоремы на основании свойств отображения (см. пример 6 из § 3) заключаем, что в каждой точке некоторой окрестности точки оператор является обратимым. Таким образом, при наличии сделанного дополнительного предположения о непрерывности все точки вида из некоторой окрестности точки - удовлетворяют условиям которым раньше удовлетворяла только точка

Повторив построение неявной функции в окрестности любой из этих точек мы получили бы функцию непрерывную в х и в силу 2 совпадающую с функцией в некоторой окрестности точки х. Но это и означает, что функция непрерывна в х.

Дополнение 2 (о дифференцируемости неявной функции). Если в дополнение к условиям теоремы известно, что в окрестности точки существует также частная производная непрерывная в точке то функция дифференцируема в точке причем

Проверим непосредственно, что линейный оператор , стоящий в правой части формулы (8), действительно является дифференциалом функции в точке

Как и прежде, для упрощения записи будем считать, что поэтому

Проведем сначала предварительный подсчет

где

Эти соотношения написаны с учетом того, что и того, что непрерывность частных производных отображений в точке (0, 0) обеспечивает дифференцируемость функции в этой точке.

Положим для удобства записи а

Учитывая, что

проведенную выше предварительную выкладку можно продолжить и получить, что

или

Ввиду непрерывности точке и того, что при также поэтому при

Значит, из последнего неравенства следует, что

Дополнение 3 (о непрерывной дифференцируемости неявной функции). Если в дополнение к условиям теоремы известно, что в окрестности точки существуют и непрерывны частные производные отображения то в некоторой окрестности точки функция непрерывно дифференцируема и ее производное отображение вычисляется по формуле

То, что в индивидуальной точке х, для которой оператор обратим, производное отображение существует и Выражается в виде (9), нам уже известно из формулы (8).

Остается проверить, что при сделанных предположениях функция непрерывна в некоторой окрестности точки

Билинейная функция произведение линейных операторов А, В является непрерывной функцией.

Оператор непрерывно зависит от х как композиция непрерывных функций

То же самое можно сказать о линейном операторе

Остается вспомнить (см. пример 6 из § 3), что отображение также непрерывно в области своего определения.

Таким образом, задаваемая формулой функция непрерывна в некоторой окрестности точки как композиция непрерывных функций.

Теперь мы можем подвести итог и сформулировать следующее общее

Утверждение. Если в дополнение к условиям теоремы о неявной функции известно, что функция принадлежит классу то определяемая уравнением неявная функция принадлежит классу в некоторой окрестности V точки

При утверждение уже доказано. Общий случай может теперь быть получен по индукции из формулы (9), если заметить, что отображение (бесконечно) дифференцируемо и что при дифференцировании равенства (9) правая часть всегда содержит производные от на один порядок более низкие, чем левая часть. Таким образом, последовательное дифференцирование равенства (9) возможно столько раз, каков порядок гладкости функции

В частности, если

то

В менее подробной, но более обозримой записи это означает, что

Так можно было бы в принципе получить выражение для производной любого порядка от неявной функции, однако, как видно уже из формулы (10), эти выражения в общем случае слишком, громоздки, чтобы быть удобными в употреблении.

Посмотрим теперь, как конкретизируются полученные результаты в важнейшем частном случае, когда

В этом случае отображение имеет координатное представление

Частные производные отображения задаются матрицами

вычисленными в соответствующей точке

Непрерывность как нам известно, равносильна непрерывности всех элементов указанных матриц.

Обратимость линейного преобразования равносильна невырожденности матрицы, задающей это преобразование.

Таким образом, в рассматриваемом случае теорема о неявной функции утверждает, что если

2) - функции, непрерывные в окрестности точки

3) все частные производные определены в окрестности и непрерывны в самой этой точке;

4) в точке определитель

матрицы отличен от нуля, то найдутся окрестность V точки окрестность V точки в и отображение , имеющее в данном случае координатное представление

такие, что:

1) в пределах окрестности точки система уравнений

равносильна функциональной зависимости , выраженной равенствами (12);

3) отображение (12) непрерывно в точке

Если же, сверх того, известно, что отображение (11) принадлежит классу гладкости то, как следует из приведенного выше утверждения, отображение (12) также будет принадлежать классу разумеется, в соответствующей своей области определения.

Формула (9) в рассматриваемом случае конкретизируется, превращаясь в матричное равенство

в котором левая часть вычисляется в точке а правая — в соответствующей точке где

Если когда решается относительно у уравнение

матрица состоит из одного элемента — числа . В этом случае и

Формула (10) в этом случае также несколько упрощается, точнее, может быть переписана в следующем более симметричном виде:

Если же и то есть вещественнозначная функция одного числового аргумента, и формулы (13), (14) предельно

упрощаются, превращаясь в знакомые числовые равенства

для первых двух производных неявной функции, задаваемой уравнением

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)