§ 3. Преобразование Фурье

1. Представление функции интегралом Фурье

а. Спектр и гармонический анализ функции.

Пусть — Т-периодическая функция (сигнал), абсолютно интегрируемая на периоде. Раскладывая в ряд Фурье (в случае достаточной регулярности ряд Фурье, как известно, сходится к и преобразовывая этот ряд

получаем представление в виде суммы постоянного члена — среднего значения по периоду и синусоидальных компонент с частотами (основная частота), (вторая гармоническая частота), и т. д. Вообще гармоническая компонента сигнала имеет частоту круговую частоту амплитуду и фазу

Разложение периодической функции (Сигнала) в сумму простых гармонических колебаний называют гармоническим анализом функции Числа или называют спектром функции (сигнала) Периодическая, функция, таким образом, имеет дискретный спектр.

Прикинем (на эвристическом уровне), что произойдет с разложением (1) при неограниченном увеличении периода Т сигнала

Полагая для упрощения записи перепишем разложение

в следующем виде:

где

и, значит,

Считая, что при мы приходим в пределе к рассмотрению произвольной абсолютно интегрируемой на функции введем вспомогательную функцию

значения которой в точках мало отличаются от величин с в формуле (2). В таком случае

где Последняя сумма напоминает интегральную сумму и при измельчании разбиения, происходящего при получаем

Таким образом, вслед за Фурье мы пришли к разложению функции в континуальную линейную комбинацию гармоник переменной частоты и фазы.

Функцию с (а), определенную равенством (3) и играющую роль коэффициента в интеграле (5), подобного коэффициентам Фурье в ряде Фурье, естественно считать спектром функции (сигнала) . В отличие от рассмотренного выше случая периодического сигнала и соответствующего ему дискретного спектра, спектр с (а) произвольного сигнала может не обращаться в нуль на целых промежутках и даже на всей прямой (непрерывный спектр).

Пример 1. Найдем функцию, имеющую следующий финитный спектр:

По формуле (5) при находим

а когда получаем что совпадает с пределом

Представление функции в виде (5) называют представлением функции в виде интеграла Фурье. Ниже мы обсудим условия, при которых такое представление возможно, а сейчас рассмотрим еще один.

Пример 2. Пусть Р — прибор, который обладает следующими свойствами: это линейный преобразователь сигналов (т. е. сохраняющий периодичность сигнала (т. е. где коэффициент зависит от частоты со периодического сигнала

Мы употребляем здесь более компактную комплексную форму записи, хотя, конечно, все можно переписать и через функции

Функция называется спектральной характеристикой прибора Р, ее модуль принято называть частотной характеристикой, а аргумент — фазовой характеристикой прибора Р. Сигнал пройдя через прибор, преобразуется на выходе в сигнал измененный по амплитуде благодаря множителю и сдвинутый по фазе ввиду наличия слагаемого

Предположим, что нам известны спектральная характеристика прибора Р и сигнал поступивший на вход прибора, а требуется узнать сигнал на выходе прибора.

Представив сигнал в виде интеграла Фурье (5) и пользуясь линейностью прибора Р и интеграла, находим

В частности, если

то

и, как видно из определения спектральной характеристики прибора,

Прибор Р со спектральной характеристикой (8) пропускает (фильтрует) без искажения частоты, не превосходящие и срезает всю ту часть сигнала, которая относится к высоким частотам

(превышающим ). По этой причине такой, прибор в радиотехнике называют идеальным фильтром низкой частоты (с верхней граничной частотой

Перейдем теперь к математической стороне дела и к более тщательному рассмотрению возникших здесь понятий.

b. Определение преобразования Фурье и интеграла Фурье.

В соответствии с формулами (3) и (5) введем Определение 1. Функция

называется преобразованием Фурье функции

Интеграл здесь понимается в смысле главного значения

и считается, что он существует.

Если — абсолютна интегрируемая на функция, то, поскольку при для любой такой функции имеет смысл преобразование Фурье (9), причем интеграл (9) сходится абсолютно и равномерна по на всей прямой

Определение 2. Если — преобразование Фурье функции то сопоставляемый интеграл

понимаемый в смысле главного значения, называется интегралом Фурье функции

Коэффициенты Фурье и ряд Фурье периодической функции являются, таким образом, дискретными аналогами преобразования Фурье и интеграла Фурье соответственно.

Определение 3. Понимаемые в смысле главного значения интегралы

называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье функции

Полагая получаем отчасти уже знакомое нам по рядам Фурье соотношение

Как видно из соотношений (11), (12),

Формулы (13), (14) показывают, что преобразования Фурье вполне определяются на всей прямой если они известны лишь для неотрицательных значений аргумента.

С физической точки зрения это вполне естественный факт — спектр сигнала надо знать для частот отрицательные» частоты а в (3) и (5) — плод формы записи. Действительно,

и, значит, интеграл Фурье (10) можно представить в виде

вполне соответствующем классической форме записи ряда Фурье.

Если функция f вещественнозначна, то из формул (13), (14) в этом случае следует

поскольку в этом случае — вещественные функции на что видно изих определений (11), (12). Впрочем, равенство (15) при условии получается и непосредственно из определения (9) преобразования Фурье, если учесть, - что знак сопряжения можно вносить под знак интеграла. Последнее наблюдение позволяет заключить, что для любой функции справедливо равенство

Полезно также заметить, что если — вещественная и четная функция, т. е. , то

если вещественная и нечетная функция, т. е. то

а если — чисто мнимая функция, т. е. то

Заметим, что если — вещественнозначная функция, то ее интеграл Фурье (10) можно записать также в виде

где

Пример 3 Найдем преобразование Фурье функции (считая

поскольку нам известно значение интеграла Дирихле

Значит, если считать и взятъ функцию из равенства (7), то мы, как и следовало ожидать, получаем в качестве ее преобразования Фурье указанный соотношениями (6) спектр этой функции.

Рассмотренная в примере 3 функция не является абсолютно интегрируемой на и ее преобразование Фурье имеет разрывы. О том, что преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функций не имеет разрывов, говорит следующая

Лемма 1. Если функция локально интегрируема и абсолютно интегрируема на то

ее преобразование Фурье определено при любом значении

Мы уже отмечали, что откуда следует абсолютная и равномерная по сходимость интеграла (9). Этим одновременно доказаны пп. а) и с) леммы.

Пункт следует из леммы Римана (см. § 2).

Для фиксированного конечного оценка

устанавливает непрерывность по интеграла

равномерная сходимость которого при позволяют заключить, что .

Пример 4 Найдем преобразование Фурье функции

Дифференцируя последний интеграл по параметру а и интегрируя затем по частям, находим, что

или

Значит, где с — постоянная, которую, пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона (см. гл. XVII, § 2, пример 17), находим из соотношения

Итак, мы нашли, что и одновременно показали, что

с. Достаточные условия представимости функции интегралом-Фурье.

Теорема 1. Если абсолютно интегрируемая на и локально кусочно непрерывная функция удовлетворяет в точке условиям Цини, то ее интеграл Фурье сходится в этой точке, причем к значению равному полусумме левом и правом пределов значений функции в этой точке.

По лемме 1 преобразование Фурье с функции непрерывно на и, значит, интегрируемо на любом отрезке . Подобно тому, как мы преобразовывали частичную сумму ряда Фурье, проведем теперь следующие преобразования частичного интеграла Фурье:

Произведенное во втором от начала равенстве изменение порядка интегрирования законно. В самом деле, поскольку локально кусочно непрерывна на то для любого конечного справедливо равенство

из которого ввиду равномерной сходимости по интеграла при получаем нужное нам равенство.

Теперь воспользуемся интегралом Дирихле (20) и завершим наши преобразования:

Докажем, что при последний интеграл стремится к нулю. Проверим это лишь для одного из его слагаемых, поскольку для второго слагаемого все делается аналогично.

Первый из интегралов, стоящих в правой части этого равенства, стремится к нулю при в силу леммы Римана, поскольку удовлетворяет в точке х условиям Дини; второй интеграл по той же лемме Римана стремится к нулю при так как функция абсолютно интегрируема на рассматриваемом промежутке; наконец, последний интеграл можно преобразовать

после чего становится ясно, что и он стремится к нулю при поскольку интеграл Дирихле (20) сходится.

Из доказанной теоремы получаем, в частности,

Следствие 1. Если функция непрерывна, имеет в каждой точке конечные односторонние производные и абсолютно интегрируема на то она представляется на своим интегралом Фурье

где с — преобразование Фурье функции

Обозначим символом понимаемый в смысле главного значения интеграл

Сравнивая его с преобразованием Фурье (9), видим, что

Доказанная нами формула (21) означает, что

Проверим теперь, что и

В самом деле,

Итак, получено важное

Следствие 2. Для любой функции удовлетворяющей условиям следствия 1, существуют все преобразования и имеют место равенства

Имея в виду эти соотношения, преобразование (22) часто называют обратным преобразованием Фурье и вместо пишут а сами равенства (24) называют формулой обращения преобразования Фурье.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 5. Предположим, что известен сигнал на выходе прибора Р, рассмотренного в примере 2, а мы хотим найти сигнал поданный на вход прибора Р. В примере 2 мы показали, что связаны соотношением

где — спектр сигнала или преобразование Фурье функции спектральная характеристика прибора Р Считая все эти функции достаточно регулярными, из соотношения (24) заключаем, что

откуда находим

и затем по формуле (21) или

Пример 6. Пусть и

тогда

Заметим, что если то при любой функции

Возьмем теперь функцию Тогда

Если же взять функцию являющуюся нечетным продолжением функции егах, на всю числовую ось, то

Используя теорему 1, получаем, что

Все интегралы здесь понимаются в смысле главного значения, хотя второй, ввиду его абсолютной сходимости, можно понимать и в смысле обычного несобственного интеграла.

Отделяя в двух последних интегралах действительные и мнимые части, находим уже встречавшиеся нам интегралы Лапласа

Заканчивая обсуждение вопроса о возможности представления функции интегралом Фурье, отметим, что, как показывают совместно примеры 1 и 3, сформулированные в теореме 1 и следствии 1 условия на функцию являются достаточными, но не являются необходимыми для возможности такого представления.