2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

а. Лемма Римана.

Одним из принципиальных наблюдений, связанных с характером поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье, является следующая

Лемма 1 (Римана). Если локально интегрируемая функция абсолютно интегрируема (хотя бы в несобственном смысле) на промежутке то

Фиксировав произвольно выберем сначала отрезок так, чтобы при любом было

Ввиду оценок

и абсолютной интегрируемости указанный отрезок конечно, существует.

Поскольку (точнее то найдется такая нижняя интегральная сумма Дарбу где

Вводя теперь кусочно постоянную на функцию если получаем, таким образом, что на и

Но

Сопоставляя соотношения получаем то, что и утверждалось.

Замечание 1. Отделяя в (15) действительную и мнимую части, получаем, что

при Если бы в последних интегралах функция f была комплекснозначна, то, отделяя уже в них действительную и мнимою части, мы получили бы, что соотношения а значит,

и соотношение (15), на самом-то деле, конечно, справедливы и для комплекснозначных функций

Замечание 2. Если известно, что , то в силу неравенства Бесселя (8) можно сразу заключить, что

при Этим дискретным вариантов леммы Римана в принципе уже можно было бы обойтись в тех начальных исследованиях классических рядов Фурье, которые будут здесь проведены.

b. Интегральное представление частичной суммы ряда Фурье.

Вернемся теперь к частичной сумме (9) ряда Фурье (6) и, подставив в ее комплексную запись (9) выражения (13) коэффициентов Фурье, проделаем следующие преобразования:

Но

поэтому

и

c. Ядро Дирихле.

Введенная соотношением (20) и преобразованная затем к виду (21) функция называется ядром Дирихле или, точнее, ядром Дирихле

Укажем используемые в дальнейшем свойства ядра Дирихле. Лемма 2 (о свойствах ядер Дирихле). Функция обладает следующими свойствами:

-периодическая и четная на

для любого

с) для любого

Периодичность и четность очевидно, явно присутствуют в самом определении (6) функции Из этого же соотношения получаем

поскольку при интегралы равны нулю.

Если теперь то, используя представление (21) функции и полагая при , по лемме Римана получаем с).

d. Принцип локализации.

Теорема 2 (принцип локализации). Пусть — вещественно или комплектозначные локально интегрируемые на промежутке и абсолютно интегрируемые на нем (хотя бы в несобственном смысле) функции.

Если функции совпадают в сколь угодно малой окрестности точки то их ряды Фурье

сходятся или расходятся в точке одновременно, а в случае сходимости их суммы в совпадают.

Фуркции продолжим с периодом на всю числовую ось. Пренебрегая не существенными для последующих вычислений значениями продолженных функций в изолированных точках вида , где можно считать что - периодические функции на абсолютно интегрируемые (быть может, в несобственном смысле) на любом конечном отрезке прямой

Пользуясь -периодичностью ядра Дирихле и тем, что интеграл от периодической на функции по отрезку, длина которого равна периоду функции, не зависит от расположения отрезка на цосле замены из (22) получаем симметричное прежнему представление

интегральной суммы ряда Фурье.

Пусть теперь Тогда

Здесь при получении последнего интеграла мы воспользовались выражением (21) ядра Дирихле и заменой свели интеграл по промежутку к интегралу по промежутку

Теперь, учитывая ограниченность при , ссылаясь на лемму Римана, можно заключить, что, каково бы ни было

Значит, поведение при полностью определяется значениями периодической функции в сколь угодно малой -окрестнссти точки х. Это и есть принцип локализации, из которого немедленно вытекает другая его форма, высказанная в теореме 2.

Замесание 3. Как видно из доказательства (и это существенно!), если тбчка была концом отрезка то для локального совпадения в окрестности точки продолженных на функций необходимо (и достаточно), чтобы заданные лишь на отрезке исходные функции совпадали в окрестности обоих концов этого отрезка.

e. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке.

Определение Говорят, что функция . заданная в проколотой окрестности точки удовлетворяет в точке х условиям Цини, если

a) в точке х существуют оба односторонних предела

b) оба интеграла

сходятся абсолютно.

Пример 2. Если непрерывная в функция, удовлетворяющая в точке х условию Гёльдера

то, поскольку тогда справедлива оценка

функция удовлетворяет в точке х условиям Дини.

Ясно также, что если определенная в проколотой окрестности и точки х непрерывная функция имеет односторонние пределы и удовлетворяет односторонним условиям Гёльдера

где — положительная постоянная, то функция по той же причине, что и выше, будет удовлетворять условиям Дини.

Определение 3. Вещественно- или комплекснозначную функцию будем называть кусочно непрерывной на отрезке если существует такой конечный набор точек этого отрезка, что функция определена, непрерывна на каждом интервале и имеет односторонние пределы при подходе, к его концам.

Определение 4. Функцию, имеющую на данном отрезке кусочно непрерывную производную, будем называть кусочно непрерывно дифференцируемой функцией на этом отрезке.

Пример 3. Если функция кусочно непрерывно дифференцируема на отрезке то она удовлетворяет условиям Гёльдера С показателем в любой точке этого отрезка (это вытекает из теоремы Лагранжа о конечном приращении). Значит, в силу примера 1 такая функция удовлетворяет условиям Дини в любой точке рассматриваемого отрезка. В концах отрезка, разумеется, проверке подлежит только соответствующая односторонняя пара условий Дини.

Пример 4. Функция удовлетворяет условиям Дини в любой точке в том числе и в нуле.

Теорема 3 (достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке). Пусть -периодическая функцияи абсолютно интегрируемая на отрезке Если функция удовлетворяет 8 точке условиям Дини, то ее ряд Фурье сходится в точке х, причем

Используя свойства ядра Дирихле приведем сначала следующие простые преобразования интеграла (22):

Поскольку при благодаря условиям Дини на основании леммы Римана можно теперь утверждать, что при последний интеграл стремится к нулю.

Замечание 4. Формула (24) показывает, что ряд Фурье, сходясь к полусумме односторонних пределов функции в точке х, совсем не реагирует на само значение функции в точке х. Ничего удивительного в этом не должно быть, если вспомнить, что коэффициенты Фурье, а значит, и сам ряд Фурье не изменятся от изменения значений функции в индивидуальной точке. Пример 5. В примере 8 из § 1 мы нашли ряд Фурье

функции на промежутке . Продолжая функцию периодично с интервала на всю числовую ось, можно считать, что ряд (25) является рядом Фурье этой продолженной функции Тогда на основании теоремы 3 получаем, что

В частности, при следует, что

Пример 6. Пусть . Рассмотрим -периодическую функцию задаваемую на отрезке формулой

По формулам (4), (5) найдем ее коэффициенты Фурье:

По теореме 3 в любой точке имеет место равенство

При отсюда получаем, что

Если , то поэтому стоящий в правой части равенства (26) ряд сходится равномерно по а на любом отрезке Значит, законно его почленное интегрирование, т. е.

и

что

и окончательно

Мы доказали, таким образом, соотношение (27), на которое в свое время ссылались при выводе формулы дополнения для функции Эйлера.

f. Теорема Фейера.

Рассмотрим теперь последовательность функций

являющихся средним арифметическим соответствующих частичных сумм тригонометрического ряда Фурье (6) периодической функции

Используя интегральное представление (22) частичной суммы ряда Фурье, в результате простых преобразований получаем

где

Функция называется ядром Фейера, точнее ядром Фейера.

Лемма 3 (о свойствах ядер Фейера). Последовательность функций

является -образной на

Поскольку

то неотрицательность очевидна.

Далее,

Наконец, при любом

при

Теорема 4 (Фейера). Пусть - -периодическая абсолютно интегрируемая на отрезке функция. Тогда:

a) если на множестве функция равномерно непрерывна, то

b) если , то

c) если непрерывна в точке то

Утверждения являются специальными случаями утверждения а).

Само же утверждение а) является частным случаем общего утверждения 5 из § 4 гл. XVII о сходимости свертки, поскольку

Следствие 1 (теорема Вейерштрасса об аппроксимации тригонометрическими многочленами). Если функция непрерывна на отрезке , то эта функция может быть сколь угодно точно равномерно на отрезке аппроксимирована тригонометрическими многочленами.

Продолжая периодически, получим непрерывную периодическую на функцию, к которой по теореме Фейера равномерно сходятся тригонометрические многочлены

Следствие 2. Если функция непрерывна в точке х, то ее ряд Фурье либо вовсе расходится в этой точке, - либо сходится к

Формально в проверке нуждается только случай сходимости.

Если последоватёльность при имеет предел, то тот же предел имеет и последовательность

Но по теореме Фейера при значит, и при если вообще предел при существует.

Замечание 5. Отметим, что ряд Фурье непрерывной функции и в самом деле может в некоторых точках расходиться.