Главная > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

а. Лемма Римана.

Одним из принципиальных наблюдений, связанных с характером поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье, является следующая

Лемма 1 (Римана). Если локально интегрируемая функция абсолютно интегрируема (хотя бы в несобственном смысле) на промежутке то

Фиксировав произвольно выберем сначала отрезок так, чтобы при любом было

Ввиду оценок

и абсолютной интегрируемости указанный отрезок конечно, существует.

Поскольку (точнее то найдется такая нижняя интегральная сумма Дарбу где

Вводя теперь кусочно постоянную на функцию если получаем, таким образом, что на и

Но

Сопоставляя соотношения получаем то, что и утверждалось.

Замечание 1. Отделяя в (15) действительную и мнимую части, получаем, что

при Если бы в последних интегралах функция f была комплекснозначна, то, отделяя уже в них действительную и мнимою части, мы получили бы, что соотношения а значит,

и соотношение (15), на самом-то деле, конечно, справедливы и для комплекснозначных функций

Замечание 2. Если известно, что , то в силу неравенства Бесселя (8) можно сразу заключить, что

при Этим дискретным вариантов леммы Римана в принципе уже можно было бы обойтись в тех начальных исследованиях классических рядов Фурье, которые будут здесь проведены.

b. Интегральное представление частичной суммы ряда Фурье.

Вернемся теперь к частичной сумме (9) ряда Фурье (6) и, подставив в ее комплексную запись (9) выражения (13) коэффициентов Фурье, проделаем следующие преобразования:

Но

поэтому

и

c. Ядро Дирихле.

Введенная соотношением (20) и преобразованная затем к виду (21) функция называется ядром Дирихле или, точнее, ядром Дирихле

Укажем используемые в дальнейшем свойства ядра Дирихле. Лемма 2 (о свойствах ядер Дирихле). Функция обладает следующими свойствами:

-периодическая и четная на

для любого

с) для любого

Периодичность и четность очевидно, явно присутствуют в самом определении (6) функции Из этого же соотношения получаем

поскольку при интегралы равны нулю.

Если теперь то, используя представление (21) функции и полагая при , по лемме Римана получаем с).

d. Принцип локализации.

Теорема 2 (принцип локализации). Пусть — вещественно или комплектозначные локально интегрируемые на промежутке и абсолютно интегрируемые на нем (хотя бы в несобственном смысле) функции.

Если функции совпадают в сколь угодно малой окрестности точки то их ряды Фурье

сходятся или расходятся в точке одновременно, а в случае сходимости их суммы в совпадают.

Фуркции продолжим с периодом на всю числовую ось. Пренебрегая не существенными для последующих вычислений значениями продолженных функций в изолированных точках вида , где можно считать что - периодические функции на абсолютно интегрируемые (быть может, в несобственном смысле) на любом конечном отрезке прямой

Пользуясь -периодичностью ядра Дирихле и тем, что интеграл от периодической на функции по отрезку, длина которого равна периоду функции, не зависит от расположения отрезка на цосле замены из (22) получаем симметричное прежнему представление

интегральной суммы ряда Фурье.

Пусть теперь Тогда

Здесь при получении последнего интеграла мы воспользовались выражением (21) ядра Дирихле и заменой свели интеграл по промежутку к интегралу по промежутку

Теперь, учитывая ограниченность при , ссылаясь на лемму Римана, можно заключить, что, каково бы ни было

Значит, поведение при полностью определяется значениями периодической функции в сколь угодно малой -окрестнссти точки х. Это и есть принцип локализации, из которого немедленно вытекает другая его форма, высказанная в теореме 2.

Замесание 3. Как видно из доказательства (и это существенно!), если тбчка была концом отрезка то для локального совпадения в окрестности точки продолженных на функций необходимо (и достаточно), чтобы заданные лишь на отрезке исходные функции совпадали в окрестности обоих концов этого отрезка.

e. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке.

Определение Говорят, что функция . заданная в проколотой окрестности точки удовлетворяет в точке х условиям Цини, если

a) в точке х существуют оба односторонних предела

b) оба интеграла

сходятся абсолютно.

Пример 2. Если непрерывная в функция, удовлетворяющая в точке х условию Гёльдера

то, поскольку тогда справедлива оценка

функция удовлетворяет в точке х условиям Дини.

Ясно также, что если определенная в проколотой окрестности и точки х непрерывная функция имеет односторонние пределы и удовлетворяет односторонним условиям Гёльдера

где — положительная постоянная, то функция по той же причине, что и выше, будет удовлетворять условиям Дини.

Определение 3. Вещественно- или комплекснозначную функцию будем называть кусочно непрерывной на отрезке если существует такой конечный набор точек этого отрезка, что функция определена, непрерывна на каждом интервале и имеет односторонние пределы при подходе, к его концам.

Определение 4. Функцию, имеющую на данном отрезке кусочно непрерывную производную, будем называть кусочно непрерывно дифференцируемой функцией на этом отрезке.

Пример 3. Если функция кусочно непрерывно дифференцируема на отрезке то она удовлетворяет условиям Гёльдера С показателем в любой точке этого отрезка (это вытекает из теоремы Лагранжа о конечном приращении). Значит, в силу примера 1 такая функция удовлетворяет условиям Дини в любой точке рассматриваемого отрезка. В концах отрезка, разумеется, проверке подлежит только соответствующая односторонняя пара условий Дини.

Пример 4. Функция удовлетворяет условиям Дини в любой точке в том числе и в нуле.

Теорема 3 (достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке). Пусть -периодическая функцияи абсолютно интегрируемая на отрезке Если функция удовлетворяет 8 точке условиям Дини, то ее ряд Фурье сходится в точке х, причем

Используя свойства ядра Дирихле приведем сначала следующие простые преобразования интеграла (22):

Поскольку при благодаря условиям Дини на основании леммы Римана можно теперь утверждать, что при последний интеграл стремится к нулю.

Замечание 4. Формула (24) показывает, что ряд Фурье, сходясь к полусумме односторонних пределов функции в точке х, совсем не реагирует на само значение функции в точке х. Ничего удивительного в этом не должно быть, если вспомнить, что коэффициенты Фурье, а значит, и сам ряд Фурье не изменятся от изменения значений функции в индивидуальной точке. Пример 5. В примере 8 из § 1 мы нашли ряд Фурье

функции на промежутке . Продолжая функцию периодично с интервала на всю числовую ось, можно считать, что ряд (25) является рядом Фурье этой продолженной функции Тогда на основании теоремы 3 получаем, что

В частности, при следует, что

Пример 6. Пусть . Рассмотрим -периодическую функцию задаваемую на отрезке формулой

По формулам (4), (5) найдем ее коэффициенты Фурье:

По теореме 3 в любой точке имеет место равенство

При отсюда получаем, что

Если , то поэтому стоящий в правой части равенства (26) ряд сходится равномерно по а на любом отрезке Значит, законно его почленное интегрирование, т. е.

и

что

и окончательно

Мы доказали, таким образом, соотношение (27), на которое в свое время ссылались при выводе формулы дополнения для функции Эйлера.

f. Теорема Фейера.

Рассмотрим теперь последовательность функций

являющихся средним арифметическим соответствующих частичных сумм тригонометрического ряда Фурье (6) периодической функции

Используя интегральное представление (22) частичной суммы ряда Фурье, в результате простых преобразований получаем

где

Функция называется ядром Фейера, точнее ядром Фейера.

Лемма 3 (о свойствах ядер Фейера). Последовательность функций

является -образной на

Поскольку

то неотрицательность очевидна.

Далее,

Наконец, при любом

при

Теорема 4 (Фейера). Пусть - -периодическая абсолютно интегрируемая на отрезке функция. Тогда:

a) если на множестве функция равномерно непрерывна, то

b) если , то

c) если непрерывна в точке то

Утверждения являются специальными случаями утверждения а).

Само же утверждение а) является частным случаем общего утверждения 5 из § 4 гл. XVII о сходимости свертки, поскольку

Следствие 1 (теорема Вейерштрасса об аппроксимации тригонометрическими многочленами). Если функция непрерывна на отрезке , то эта функция может быть сколь угодно точно равномерно на отрезке аппроксимирована тригонометрическими многочленами.

Продолжая периодически, получим непрерывную периодическую на функцию, к которой по теореме Фейера равномерно сходятся тригонометрические многочлены

Следствие 2. Если функция непрерывна в точке х, то ее ряд Фурье либо вовсе расходится в этой точке, - либо сходится к

Формально в проверке нуждается только случай сходимости.

Если последоватёльность при имеет предел, то тот же предел имеет и последовательность

Но по теореме Фейера при значит, и при если вообще предел при существует.

Замечание 5. Отметим, что ряд Фурье непрерывной функции и в самом деле может в некоторых точках расходиться.

1
Оглавление
email@scask.ru