Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.а. Лемма Римана.Одним из принципиальных наблюдений, связанных с характером поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье, является следующая Лемма 1 (Римана). Если локально интегрируемая функция
Фиксировав произвольно
Ввиду оценок
и абсолютной интегрируемости Поскольку
Вводя теперь кусочно постоянную на
Но
Сопоставляя соотношения Замечание 1. Отделяя в (15) действительную и мнимую части, получаем, что
при и соотношение (15), на самом-то деле, конечно, справедливы и для комплекснозначных функций Замечание 2. Если известно, что
при b. Интегральное представление частичной суммы ряда Фурье.Вернемся теперь к частичной сумме (9) ряда Фурье (6) и, подставив в ее комплексную запись (9) выражения (13) коэффициентов Фурье, проделаем следующие преобразования:
Но
поэтому
и
c. Ядро Дирихле.Введенная соотношением (20) и преобразованная затем к виду (21) функция Укажем используемые в дальнейшем свойства ядра Дирихле. Лемма 2 (о свойствах ядер Дирихле). Функция
с) для любого
Периодичность и четность
поскольку при Если теперь d. Принцип локализации.Теорема 2 (принцип локализации). Пусть Если функции
сходятся или расходятся в точке Фуркции Пользуясь
интегральной суммы ряда Фурье. Пусть теперь
Здесь при получении последнего интеграла мы воспользовались выражением (21) ядра Дирихле и заменой Теперь, учитывая ограниченность
Значит, поведение Замесание 3. Как видно из доказательства (и это существенно!), если e. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке.Определение a) в точке х существуют оба односторонних предела
b) оба интеграла
сходятся абсолютно. Пример 2. Если
то, поскольку тогда справедлива оценка
функция Ясно также, что если определенная в проколотой окрестности и
где Определение 3. Вещественно- или комплекснозначную функцию Определение 4. Функцию, имеющую на данном отрезке кусочно непрерывную производную, будем называть кусочно непрерывно дифференцируемой функцией на этом отрезке. Пример 3. Если функция кусочно непрерывно дифференцируема на отрезке то она удовлетворяет условиям Гёльдера С показателем Пример 4. Функция Теорема 3 (достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке). Пусть
Используя свойства ядра Дирихле приведем сначала следующие простые преобразования интеграла (22):
Поскольку Замечание 4. Формула (24) показывает, что ряд Фурье, сходясь к полусумме односторонних пределов функции
функции
В частности, при
Пример 6. Пусть По формулам (4), (5) найдем ее коэффициенты Фурье:
По теореме 3 в любой точке
При
Если
и
что
и окончательно
Мы доказали, таким образом, соотношение (27), на которое в свое время ссылались при выводе формулы дополнения для функции f. Теорема Фейера.Рассмотрим теперь последовательность функций
являющихся средним арифметическим соответствующих частичных сумм Используя интегральное представление (22) частичной суммы ряда Фурье, в результате простых преобразований получаем
где
Функция Лемма 3 (о свойствах ядер Фейера). Последовательность функций
является Поскольку
то неотрицательность Далее,
Наконец, при любом
при Теорема 4 (Фейера). Пусть a) если на множестве
b) если
c) если
Утверждения Само же утверждение а) является частным случаем общего утверждения 5 из § 4 гл. XVII о сходимости свертки, поскольку
Следствие 1 (теорема Вейерштрасса об аппроксимации тригонометрическими многочленами). Если функция Продолжая Следствие 2. Если функция Формально в проверке нуждается только случай сходимости. Если последоватёльность Но по теореме Фейера Замечание 5. Отметим, что ряд Фурье непрерывной функции и в самом деле может в некоторых точках расходиться.
|
1 |
Оглавление
|