3. Внешний дифференциал формы.

Все, что было до сих пор сказано о дифференциальных формах, пока в сущности относилось к каждой точке х области задания формы в отдельности и имело чисто алгебраический характер. Специфической для анализа операцией над дифференциальными формами является операция их (внешнего) дифференцирования.

Условимся в дальнейшем под дифференциальными формами нулевого порядка в области понимать функции определенные в этой области.

Определение 2. (Внешним) дифференциалом от -формы в случае, если — дифференцируемая функция, называется обычный дифференциал от этой функции.

Если заданная в области дифференциальная -форма

имеет дифференцируемые коэффициенты то ее (внешний) дифференциал есть форма

Используя разложение (9) дифференциала функции и опираясь на вытекающую из соотношения (1) дистрибутивность внешнего произведения -форм, заключаем, что

т. е. (внешний) дифференциал от -формы всегда есть форма степени

Отметим, что данное выше определение 1 дифференциальной -формы в области как теперь можнопонять, слишком общо, поскольку никак не связывает формы соответствующие различным точкам области Реально в анализе используются лишь формы, коэффициенты координатного представления которых являются достаточно регулярными (чаще всего бесконечно дифференцируемыми) функциями в области Порядок гладкости формы в области принято характеризовать низшим из порядков гладкости ее коэффициентов. Совокупность всех форм степени коэффициентами класса чаще всего обозначают символом или

Таким образом, определенная нами операция дифференцирования форм осуществляет отображение

Рассмотрим несколько полезных конкретных примеров.

Пример 9. Для -формы дифференцируемой функции, определенной в области — получаем

Пример 10. Пусть

— дифференциальная -форма в области пространства наделенного координатами . Считая Р и дифференцируемыми в функциями, в соответствии с определением 2 получаем

Пример 11. Для 1-формы

заданной в области пространства получаем

Пример 12. Подсчет дифференциала -формы

где дифференцируемые в области функции, приводит к соотношению

Если — декартовы координаты в евклидовом пространстве — гладкие скалярное и векторные поля в области то вместе с ними (особенно в физических задачах) часто рассматривают соответственно векторные поля

и скалярное поле

О градиенте скалярного поля мы в свое время уже говорили. Не останавливаясь пока на физическом содержании ротора и дивергенции векторного поля, отметим лишь связь этих классических операторов теории поля с операцией дифференцирования форм.

В евклидовом пространстве между векторными полями и один- и два-формами имеется взаимно однозначное соответствие

Заметим также, что любая -форма в области имеет вид Учитывая эти обстоятельства, можно ввести следующие определения для :

Примеры 9, 11, 12 показывают, что при этом в декартовых координатах мы приходим к выписанным выше выражениям (14), (15), (16) для . Таким образом, перечисленные операторы теории поля можно рассматривать как конкретные проявления операции дифференцирования внешних форм, которая выполняется единообразно на формах любой степени. Подробнее о градиенте, роторе и дивергенции будет сказано в гл. XIV.