2. Непрерывные отображения.

а. Основные определения.

Определение 3. Отображение топологического пространства в топологическое пространство называется непрерывным в точке , если для любой окрестности точки найдется окрестность точки образ которой содержится в

Итак,

В случае, если — метрические пространства определение 3, разумеется, можно сформулировать на языке

Определение 4. Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке

Множество непрерывных отображений X в обозначают символом

Теорема 1 (критерий непрерывности). Отображение топологического пространства в топологическое пространство непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз - любого открытого (замкнутого) подмножества открыт (замкнут) в X.

Поскольку прообраз дополнения есть дополнение к прообразу, достаточно доказать теорему для открытых множеств.

Покажем сначала, что если то Если то открытость прообраза налицо. Если же то по определению непрерывности отображения в точке а для окрестности точки найдется такая окрестность точки а в X, что Значит, Поскольку заключаем, что — открыто, т. е.

Теперь докажем, что если прообраз любого открытого в множества открыт в X, то Но, беря любую точку и произвольную окрестность ее образа в мы обнаруживаем, что, множество является открытой окрестностью точки а в X, образ которой содержится в Следовательно, проверено определение непрерывности отображения в произвольной точке

Определение 5. Биективное отображение одного Топологического пространства на другое называется гомеоморфным или гомеоморфизмом, если как оно само, Так и ему обратное отображение непрерывны.

Определение 6. Топологические пространства, допускающие гомеоморфное отображение друг на друга, называются гомеоморфными.

Как показывает теорема 1, при гомеоморфном отображении топологического пространства на пространство системы открытых множеств соответствуют друг другу в том смысле, что

Таким образом, с точки зрения топологических свойств гомеоморфные пространства абсолютно одинаковы. Следовательно, гомеоморфность топологических пространств есть такое же отношение

эквивалентности в множестве топологических пространств, как, например, изометричность есть отношение эквивалентности в метрических пространствах.

b. Локальные свойства непрерывных отображений.

Укажем локальные свойства непрерывных отображений. Они вытекают не: посредственно из соответствующих свойств предела.

Утверждение 3 (непрерывность композиции непрерывных отображений). Пусть — топологические пространства. Если отображение непрерывно в точке отображение непрерывно в точке причем то композиция этих отображений непрерывна в точке .

Это следует из определения непрерывности отображения и утверждения 1.

Утверждение 4 (ограниченность отображения в окрестности точки непрерывности). Если отображение топологического пространства в метрическое пространство непрерывно в некоторой точке то оно ограничено в некоторой окрестности этой точки.

Утверждение следует из финальной ограниченности (по базе) отображения, имеющего предел.

Прежде чем формулировать следующее утверждение о свойствах непрерывных отображений, напомним, что для отображений в или в величину

мы назвали колебанием отображения в точке а.

Поскольку и понятие колебания отображения на множестве и понятие шара остаются в силе в любом метрическом пространстве, то определение колебания со отображения в точке а также остается в силе для отображения метрического пространства в метрическое пространство

Утверждение 5. Отображение метрического пространства в метрическое пространство непрерывно в точке тогда и только тогда, когда со

Это утверждение непосредственно следует определения непрерывности отображения в точке.

c. Глобальные свойства непрерывных отображений.

Остановимся теперь на важнейших глобальных свойствах непрерывных отображений.

Теорема 2. При непрерывном отображении образ компакта является компактом.

Пусть — непрерывное отображение компакта в топологическое пространство и пусть — покрытие множествами, открытыми в Y. В силу

теоремы 1 множества , а образуют открытое покрытие Извлекая из него конечное покрытие находим конечное покрытие множества Таким образом, — компакт в

Следствие. Непрерывная вещественная функция на компакте принимает в некоторой точке компакта наибольшее (наименьшее) значение.

Действительно, — компакт в т. е. ограниченное и замкнутое множество. Это значит, что

В частности, если — отрезок то мы вновь получаем классическую теорему Вейерштрасса.

На отображения, непрерывные на компактах, дословно переносится теорема Кантора о равномерной непрерывности. Прежде чем ее формулировать, приведем нужное

Определение 7. Отображение метрического пространства в метрическое пространство называется равномерно непрерывным, если для любого найдется такое, что на любом множестве с диаметром, меньшим колебание и отображения меньше е.

Теорема 3 (о равномерной непрерывности). Непрерывное отображение метрического компакта в метрическое пространство равномерно непрерывно.

В частности, если — отрезок на то мы вновь возвращаемся к классической теореме Кантора, доказательство которой, изложенное в гл. IV, § 2, п. 2, практически без изменений переносится на указанный общий случай.

Рассмотрим теперь непрерывные отображения связных пространств.

Теорема 4. При непрерывном отображении образ связного топологического пространства связен.

Пусть — непрерывное отображение связного топологического пространства на топологическое пространство . Пусть открыто-замкнутое подмножество У. В силу теоремы 1 прообраз множества открыто-замкнут в X. В силу связности X имеем тогда: либо либо . Но это означает, что либо либо

Следствие. Если функция непрерывная на связном топологическом пространстве принимает значение то для любого числа С, лежащего между А и В, найдется такая точка которой

Действительно, по теореме связное множество в Но в связными множествами являются только промежутки (см. Утверждение из § 4). Таким образом, вместе с точками точка С содержится в

В частности, если X — отрезок, мы возвращаемся к классической теореме о промежуточном значении непрерывной вещественнозначной функции.

Задачи и упражнения

(см. скан)