§ 6. Непрерывные отображения топологических пространств

Этот и следующий параграфы содержат наиболее важные с точки зрения анализа результаты настоящей главы.

Основные понятия и утверждения, которые здесь изложены, являются естественным, а иногда просто дословным переносом уже хорошо, известных нам понятий и утверждений на случай отображений произвольных топологических или метрических пространств. Для многих фактов при этом оказываются почти идентичными с уже рассмотренными не только формулировки, но и доказательства, которые в этих случаях, разумеется, опускаются со ссылкой на соответствующие утверждения, изложенные подробно ранее.

1. Предел отображения.

а. Основное определение и его частные случаи.

Определение 1. Пусть — отображение множества X с фиксированной в X базой в топологическое пространство Говорят, что точка является пределом отображения по базе и пишут если для

любой окрестности V (А) точки А в Y существует элемент базы образ которого при отображении содержится в

В логической символике определение 1 имеет вид

Чаще всего нам будет встречаться случай, когда X, как и У, топологическое пространство, а — база окрестностей или проколотых окрестностей некоторой точки Сохраняя для базы проколотых окрестностей точки а прежнее обозначение можно конкретизировать определение 1 для этой базы:

Если — метрические пространства, то последнее определение можно переформулировать уже на языке

Иными словами,

Мы видим, таким образом, что, имея понятие окрестности, можно определить понятие предела отображения в топологическое или метрическое пространство так же, как это было сделано в случае или, более общо, в случае

b. О свойствах пределаотображения.

Сделаем некоторые замечания относительно общих свойств предела.

Отметим прежде всего, что получавшаяся ранее сама собой единственность предела в случае, когда У не является хаусдорровым пространством, уже не имеет места. Если же У - хаусдорфово пространство, то единственность предела имеет место и доказательство ее ничем не отличается от уже проведенного в частных случаях или

Далее, если — отображение в метрическое пространство, то можно говорить об ограниченности отображения (что означает ограниченность множества в финальной ограниченности отображения по базе в X (что означает существование элемента В базы на котором ограничено).

Из самого определения предела отображения вытекает, что если отображение множества X с базой в метрическое пространство имеет предел по базе то оно финально ограничено по этой базе.

с. Вопросы существования предела отображения.

Утверждение 1 (о пределе композиции отображений). Пусть — множество с базой — отображение в топологическое пространство имеющее предел по базе

Пусть X — множество с базой такое отображение X в что для любого элемента базы существует элемент базы образ которого содержится в

При этих условиях композиция отображений определена, имеет предел по базе и

Доказательство см. в гл. III, § 2, теорема 5.

Другим важным утверждением о существовании предела является критерий Коши, к которому мы теперь переходим. На сей раз речь будет идти уже об отображении в метрическое и даже в полное метрическое пространство.

В случае отображения множества X в метрическое пространство естественно принять следующее

Определение 2. Колебанием отображения на множестве называется величина

Имеет место

Утверждение 2 (критерий Коши существования предела отображения). Пусть X — множество с базой — отображение X в полное метрическое пространство

Для того чтобы отображение имело предел по базе необходимо и достаточно, чтобы для любого нашелся такой элемент В базы на котором колебание отображения меньше

Короче:

Доказательство см. в гл. III, § 2, теорема 4.

Полезно заметить, что полнота пространства У нужна только при переходе от правой части последнего соотношения к левой. Более того, если У не является полным пространством, то именно этот переход, вообще говоря, невозможен.