§ 6. Непрерывные отображения топологических пространств
Этот и следующий параграфы содержат наиболее важные с точки зрения анализа результаты настоящей главы.
Основные понятия и утверждения, которые здесь изложены, являются естественным, а иногда просто дословным переносом уже хорошо, известных нам понятий и утверждений на случай отображений произвольных топологических или метрических пространств. Для многих фактов при этом оказываются почти идентичными с уже рассмотренными не только формулировки, но и доказательства, которые в этих случаях, разумеется, опускаются со ссылкой на соответствующие утверждения, изложенные подробно ранее.
1. Предел отображения.
а. Основное определение и его частные случаи.
Определение 1. Пусть
— отображение множества X с фиксированной в X базой
в топологическое пространство
Говорят, что точка
является пределом отображения
по базе
и пишут
если для
любой окрестности V (А) точки А в Y существует элемент
базы
образ которого при отображении
содержится в
В логической символике определение 1 имеет вид
Чаще всего нам будет встречаться случай, когда X, как и У, топологическое пространство, а — база окрестностей или проколотых окрестностей некоторой точки
Сохраняя для базы проколотых окрестностей
точки а прежнее обозначение
можно конкретизировать определение 1 для этой базы:
Если
— метрические пространства, то последнее определение можно переформулировать уже на языке
Иными словами,
Мы видим, таким образом, что, имея понятие окрестности, можно определить понятие предела отображения
в топологическое или метрическое пространство
так же, как это было сделано в случае
или, более общо, в случае
b. О свойствах пределаотображения.
Сделаем некоторые замечания относительно общих свойств предела.
Отметим прежде всего, что получавшаяся ранее сама собой единственность предела в случае, когда У не является хаусдорровым пространством, уже не имеет места. Если же У - хаусдорфово пространство, то единственность предела имеет место и доказательство ее ничем не отличается от уже проведенного в частных случаях
или
Далее, если
— отображение в метрическое пространство, то можно говорить об ограниченности отображения (что означает ограниченность множества
в
финальной ограниченности отображения по базе
в X (что означает существование элемента В базы
на котором
ограничено).
Из самого определения предела отображения вытекает, что если отображение
множества X с базой в метрическое пространство
имеет предел по базе
то оно финально ограничено по этой базе.
с. Вопросы существования предела отображения.
Утверждение 1 (о пределе композиции отображений). Пусть
— множество с базой
— отображение
в топологическое пространство
имеющее предел по базе
Пусть X — множество с базой
такое отображение X в
что для любого элемента
базы
существует элемент
базы
образ которого содержится в
При этих условиях композиция
отображений
определена, имеет предел по базе
и
Доказательство см. в гл. III, § 2, теорема 5.
Другим важным утверждением о существовании предела является критерий Коши, к которому мы теперь переходим. На сей раз речь будет идти уже об отображении
в метрическое и даже в полное метрическое пространство.
В случае отображения
множества X в метрическое пространство
естественно принять следующее
Определение 2. Колебанием отображения
на множестве
называется величина
Имеет место
Утверждение 2 (критерий Коши существования предела отображения). Пусть X — множество с базой
— отображение X в полное метрическое пространство
Для того чтобы отображение
имело предел по базе
необходимо и достаточно, чтобы для любого
нашелся такой элемент В базы
на котором колебание отображения меньше
Короче:
Доказательство см. в гл. III, § 2, теорема 4.
Полезно заметить, что полнота пространства У нужна только при переходе от правой части последнего соотношения к левой. Более того, если У не является полным пространством, то именно этот переход, вообще говоря, невозможен.