ГЛАВА XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ

§ 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры

1. Алгебра форм.

Пусть X — линейное пространство, - вещественнозначная - на X. Если — базис в — разложение векторов по этому базису, то в силу линейности по каждому аргументу

Таким образом, после задания базиса в -форму можно отождествить с набором определяющих ее чисел Если - другой базис в X и полагая находим (тензорный) закон

преобразования числовых наборов отвечающих одной и той же форме

Множество -форм на линейном пространстве X само является линейным пространством относительно стандартных операций

сложения -форм и умножения -формы на число.

Для форм произвольных степеней определяется Следующая операция их тензорного произведения.

Таким образом, является формой степени Очевидны соотношения:

Итак, множество форм на линейном пространстве X относительно введенных операций является градуированной алгеброй в которой линейные операции выполняются в пределах каждого входящего в прямую сумму пространства и если то

Пример 1. Пусть X — сопряженное к X пространство (состоящее из линейных функций на — базис в X, взаимный с базисом

Поскольку то, учитывая (1) и (9), любую -форму можно записать в виде