§ 2. Равномерная сходимость рядов функций

1. Основные определения и критерий равномерной сходимости ряда.

Определение 1. Пусть — последовательность комплекснозначных (в частности, вещественнозначных) функций. Говорят, что ряд сходится или равномерно сходится

на множестве если на Е сходится или соответственно равномерно сходится последовательность

Определение 2. Функция как и в случае числовых рядов, называется частичной суммой или, точнее, частичной суммой ряда

Определение 3. Суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм.

Таким образом, запись

означает, что на Е при а запись

означает, что на Е при

Исследование поточечной сходимости ряда в сущности есть исследование сходимости числового ряда и с этим мы уже знакомы.

Пример 1. Функцию в свое время определили соотношением

убедившись предварительно, что стоящий справа ряд сходится при каждом значении

На языке определений 1—3 можно теперь сказать, что ряд (1)

функций сходится на всей комплексной плоскости и функция является его суммой.

В силу принятых определений 1, 2 между рядами и последовательностями их частичных сумм устанавливается обратимая связь: зная члены ряда, получаем последовательность частичных сумм, а зная последовательность частичных сумм, восстанавливаем все члены ряда; характер сходимости ряда отождествляется с характером сходимости последовательности его частичных сумм.

Пример 2. В примере 5 из § 1 была построена последовательность функций, сходящаяся на к функции Дирихле Если положить

при то мы получим ряд которыйбудет сходиться на всей числовой оси и

Пример 3. В примере 9 из § 1 было показано, что последовательность функций сходится, но неравномерно к нулю на отрезке Значит, полагая при получим ряд который сходится к нулю на отрезке но сходится неравномерно.

Прямая связь между рядами и последовательностями функций позволяет каждое утверждение о последовательностях функций переформулировать в виде соответствующего утверждения о рядах функций.

Так, применительно к последовательности доказанный в § 1. критерий Коши равномерной сходимости последовательности на множестве с X означает, что

Отсюда с учетом определения 1 получается

Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости ряда).

Ряд сходится равномерно на множестве Е тогда и только тогда, когда для любого найдется такое число что при любых натуральных удовлетворяющих условию в любой точке выполнено неравенство

Действительно, полагая в и считая частичной суммой нашего ряда, получаем неравенство (3), из которого в свою очередь при тех же обозначениях и условиях теоремы вытекает соотношение (2).

Замечание 1. Мы не указали в формулировке теоремы 1 область значений функций подразумевая, что это или На самом деле областью значений, очевидно, может быть любое векторное нормированное пространство, например или если только оно является полным.

Замечание 2. Если в условиях теоремы 1 все функции постоянны, мы получаем уже знакомый нам критерий Коши сходимости числового ряда

Следствие 1 (необходимый признак равномерной сходимости ряда). Для того чтобы ряд сходился равномерно на некотором множестве Е, необходимо, чтобы на Е при

Это вытекает из определения равномерной сходимости последовательности к нулю и неравенства (3), если положйть в нем

Пример 4. Ряд (1) сходится на комплексной плоскости неравномерно, поскольку для любого в то время как по необходимому условию равномерной сходимости при наличии таковой величина должна стремиться

Пример 5. Ряд , как мы знаем, сходится в круге Поскольку при то на К при Необходимое условие равномерной сходимости выполнено, однако этот ряд сходится неравномерно на К. В самом деле, при любом фиксированном считая достаточно близким к единице, можно в силу непрерывности членов ряда добиться выполнения неравенства

По критерию Коши отсюда заключаем, что рассматриваемый ряд не сходится равномерно на множестве