4. Топологическая структура области и потенциал.

Сопоставляя пример 4 и утверждение 2, можно заключить, что при выполнении необходимого условия (3) потенциальности поля вопрос о том, всегда ли оно потенциально, связан с устройством (топологической структурой) области, в которой поле задано. Следующие рассмотрения (здесь и в дают первоначальное представление о том, какие именно характеристики области отвечают за это.

Оказывается, если область такова, что любой замкнутый путь, лежащий в можно, не выходя за пределы области стянуть в некоторую точку этой области, то в необходимое условие (3) потенциальности поля уже будет и достаточным. Ниже мы назовем такие области односвязными. Шар — односвязная область (и потому имеет место утверждение 2), а вот плоскость с проколом не является односвязной, так как охватываю начало координат путь нельзя стянуть в точку этой же области, не выходя за ее пределы. Именно поэтому не всякое удовлетворяющее условиям (3) поле в как мы видели в примере 4, обязано быть потенциальным в области

Перейдем теперь от описаний к точным формулировкам. Прежде всего поясним, что мы имеем в когда говорим о деформации или стягивании пути.

Определение 3. Говорят, что в области имеется гомотопия (или деформация) замкнутого пути в замкнутый путь если указано такое непрерывное отображение Г: квадрата в область что при любом

Таким образом, гомотопия и есть отображение (рис. 94).

Если переменную считать временем то согласно определению 3 в каждый момент времени мы имеем свой замкнутый

путь Изменение этого пути со временем таково, что в начальный момент он совпадает с путем а в момент он преобразуется в путь Поскольку в любой момент выполняются соотношения означающие, что путь замкнутый, отображение индуцирует на боковых сторонах квадрата одинаковые отображения

Отображение Г Является формализацией нашего представления о том, как постепенно путь деформируется в путь Изменение этого пути со временем таково, что в начальный момент он совпадает с путем а в момент он преобразуется в путь

Рис. 94.

Ясно, что время можно пустить в обратную сторону, и «тогда мы из пути получим путь

Определение 4.

Два замкнутых пути называются гомотопными в области, если их - можно гомогопировать друг в друга в пределах этой области, т. е. построить в этой области гомотопию одного пути в другой.

Замечание 2. Поскольку пути, с которыми нам придется в анализе иметь дело, это, как правило, пути интегрирования, без дополнительных оговорок мы будем, рассматривать только гладкие или кусочно гладкие пути и их гладкие или кусочно гладкие гомотопии.

Для областей, лежащих в можно проверить, что наличие непрерывной гомотопии (кусочно) гладких путей в них, обеспечивает и наличие (кусочно) гладкой гомотопии этих же путей.

Утверждение 3. Если -форма в области такова, что замкнутые пути гомотопны в то

Пусть — гомотопия (см. рис. 94). Если — основания квадрата , — его боковые стороны,

то, по определению гомотопии замкнутых путей, сужение Г на совпадает с соответственно, а сужение Г на дает некоторые пути и в и, поскольку пути просто совпадают. В результате замены переменных форма перенесется в квадрат в виде некоторой При этом так как Значит, по формуле Стокса

Но

Определение 5. Область называется односвязной, если любой замкнутый путь в ней гомотопен точке (т. е. постоянному пути).

Итак, именно в односвязной области любой замкнутый путь можно стянуть точку. -

Утверждение 4. Если заданное в односвязной области поле А удовлетворяет необходимому условию (3) или (3) потенциальности, то оно потенциально в

В силу утверждения 1 и замечания 1 к нему нам достаточно проверить, что равенство (5) имеет место для любого гладкого пути у в области Путь у по условию гомотопен постоянному пути, носитель которого состоит из одной точки. Интеграл по такому одноточечному пути, очевидно, равен нулю. Но в силу утверждения 3 при гомотопии интеграл не меняется, значит, и для пути у должно быть выполнено равенство (5).

Замечание 3. В случае векторных полей и отвечающих им -форм утверждение 4 может рассматриваться как обобщение утверждения 2. Однако, с точки зрения некоторого естественного расширения постановки вопроса, о чем будет сказано ниже, утверждение 2 желательно иметь в чистом виде независимо от утверждения 4.

Замечание 4. Утверждение 2 было доказано без ссылки на возможность гладкой гомотопии гладких путей.