записать, что
Утверждение 1 (принцип локализации). Пусть интеграл (1) сходится абсолютно при некотором значении 
и пусть внутри или на границе промежутка I интегрирования нашлась такая точка 
что вне любой окрестности 
точки 
Если при том функции 
непрерывны в точке 
то
где 
— произвольная окрестность 
в I,
— функция, которая есть 
при 
и любом 
Пусть 
— такая окрестность точки 
в I, в пределах которой функция 
всюду положительна или всюду отрицательна в соответствии со значением 
Тогда, очевидно,
какова бы ни была окрестность 
Из леммы 2 теперь следует, что, каково бы ни было 
найдется такая постоянная 
что
Тем самым, мы доказали, что если в пределах окрестности 
точки 
функция 
не меняет знака, то, каково бы ни было, число 
при 
финально выполняется неравенство
Вместе с тем в силу леммы 1 для любой окрестности 
точки 
справедлива оценка
где 
Сопоставляя эту оценку с неравенством (9), легко заключить, что оно финально при 
имеет место на самом-то деле для любой окрестности 
точки 
а не только для такой, в пределах которой функция 
не меняет знак.
Теперь остается написать, что
и, сославшись на оценки (9), (10), заключить о справедливости соотношения (8).
Итак, установлено, что с относительной погрешностью порядка 
при 
можно, описывая асимптотику интеграла Лапласа (1), заменить его интегралом по сколь угодно малой окрестности 
точки 
абсолютного максимума функции 
на промежутке интегрирования 
и пусть при некотором значении 
интеграл (1) сходится абсолютно. Тогда он сходится абсолютно при любом 
и имеепг место оценка
и пусть внутри или на границе промежутка I интегрирования нашлась такая точка 
в которой 
непрерывны в точке 
причем 
то для любого 
и любой достаточно малой окрестности 
точки 
в I имеет место оценки
справедливая при 
возьмем любую окрестность 
в пределах которой 
вещественнозначной, можем заключить теперь, что в пределах 
значения функции 
одного знака. Это позволяет
