2. Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.

Утверждение 4. Пусть — семейство зависящих от параметра функций, интегрируемых хотя бы в несобственном смысле на промежутке , и пусть — база в

Если:

для любого

и

интеграл сходится равномерно на

то предельная функция несобственно интегрируема на и справедливо равенство

Доказательство сводится к проверке следующей диаграммы:

Левый вертикальный предельный переход следует из условия а) и теоремы о предельном переходе под знаком собственного интеграла (см. теорему 3 из § 3 гл. XVI).

Верхний горизонтальный переход есть запись условия

По теореме о коммутировании двух предельных переходов отсюда следует существование и совпадение стоящих под диагональю пределов.

Правый вертикальный предельный переход есть то, что стоит в левой части доказываемого равенства (8), а нижний горизонтальный предельный переход дает по определению несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (8)

Следующий пример показывает, что в рассматриваемом случае несобственного интеграла одного условия а) для обеспечения равенства (8), вообще говоря, недостаточно.

Пример 9. Пусть , а

Очевидно, на промежутке при . Вместе с тем при любом

поэтому равенство (8) в данном случае не имеет места.

Используя теорему Дини (утверждение 2 § 3 гл. XVI). из только что доказанного утверждения 4 можно получить иногда весьма полезное

Следствие 2. Пусть при каждом значении вещественного параметра вещественнозначная функция неотрицательна и непрерывна на промежутке .

Если:

с ростом у функции монотонно возрастая, стремятся на к функции

интеграл сходится то справедливо равенство (8)

Из теоремы Дини следует, что на каждом отрезке

Из неравенств и мажорантного признака равномерной сходимости вытекает равномерная относительно параметра у сходимость интеграла от по промежутку

Таким образом, оба условия утверждения 4 выполнены и, значит, имеет место равенство (8).

Пример 10. В примере 3 из § 3 гл. XVI мы проверили, что последовательность функций является монотонно возрастающей на промежутке причем .

Значит, по следствию 2

Утверждение 5. Если:

функция непрерывна по у на множестве

интеграл сходится равномерно на то функция непрерывна на

Из условия а) следует, что при любом собственный интеграл

является функцией непрерывной на (см. утверждение. 1 § 1), По условию на при откуда теперь и следует непрерывность на функции . Пример 11. В примере 8 было показано, что интеграл

сходится равномерно на промежутке Значит, на основании утверждения 5 можно заключить, что функция непрерывна на каждом отрезке , т. е. непрерывна и на всем промежутке . В частности, отсюда следует, что