3. Ряд Фурье.

а. Определение ряда Фурье и некоторые геометрические аналогии.

Определение 7. Если X — линейное пространство со скалярным произведением - ортогональная система векторов X, то любому вектору можно сопоставить ряд

Этот ряд называется рядом Фурье вектора х по ортогональной системе

В случае ортонормированной системы ряд Фурье вектора запишется особенно просто

Пример 8. Пусть Рассмотрим в ортогональную систему примера 1 и найдем ряд Фурье функции рассматриваемой как вектор пространства

По формулам (16), (17) в этом случае получаем

Таким образом,

После определения 7 к обсуждаемому алгебраическому вопросу о разложении вектора по ортогональной системе добавляется элемент анализа, связанный с возможной бесконечномерностью пространства X и возникающим при этом рядом Фурье, а также предельным переходом, присутствующим в самом понятии ряда. Однако, прежде чем уходить в бесконечномерности, отметим, что в соотношениях (20), (21) из определения 7 стоит осторожный символ сопоставления, а не знак равенства. Причина такой осторожности может быть разъяснена уже на примере знакомого нам трехмерного евклидова пространства Если в взять только два вектора ортонормированного базиса то любому вектору сопоставляется его «ряд» Фурье Сумма этого «ряда» не обязана совпадать с вектором х. Например, взяв получим нулевой ряд Для любого имеем (неравенство Бесселя или, что то же самое, следствие теоремы Пифагора). Можно заметить, что «ряд» Фурье «сходится» к х в том и только в том случае, когда имеет место равенство (теорема Пифагора). Эти элементарные геометрические факты, как мы сейчас выясним, остаются в силе для любого линейного пространства, наделенного скалярным произведением, и для любой ортонормированной системы в нем.

Поскольку нам предстоит делать предельные переходы, связанные со скалярным произведением, укажем явно соответствующие свойства скалярного произведения.

Лемма 5 (о непрерывности скалярного произведения). Пусть — скалярное произведение в линейном пространстве X. Тогда

функция непрерывна по совокупности переменных,

если — ортонормированная система в X и

Утверждение а) вытекает из неравенства Коши—Буняковского (см. § 1 гл. X)

Из а) вытекает поскольку

а при .

Утверждение с) получается повторным применением с учетом соотношения

b. Полные системы и условия полноты.

Определение 8. Система векторов нормированного пространства -X называется полной, по отношению к множеству (или полной в Е), если любой вектор можно сколь угодно точно в смысле нормы пространства X приблизить конечными линейными комбинациями векторов системы.

Если через обозначить линейную оболочку в X векторов системы (т. е. совокупность всех конечных линейных комбинаций векторов системы), то определение 8 можно переформулировать следующим образом:

система полна по отношению к множеству , если Е содержится в замыкании линейной оболочки векторов системы.

Пример 9. Если — базис в то система полна в X, а система уже не является полной в X, но является полной по отношению к множеству или любому его подмножеству Е.

Пример 10. Последовательность функций рассмотрим как систему векторов пространства или . Если — подпространство непрерывных функций, то эта система полна по отношению к множеству

Действительно, какова бы ни была функция и каково бы ни было число по теореме Вейерштрасса найдется алгебраический многочлен такой, что Но тогда

и, значит, линейными комбинациями функций системы можно сколь угодно точно приблизить функцию в смысле нормы рассматриваемого пространства

Отметим, что, в отличие от ситуации примера 9, в нашем случае не каждая непрерывная на отрезке функция является конечной линейной комбинацией, функций взятой системы, а всего лишь приближается такими линейными комбинациями. Итак, в смысле нормы пространства

Пример 11. Если из системы функций удалить одну из функций, например 1, то оставшаяся система заведомо не будет полной в

В самом деле, по лемме 3 наилучшую аппроксимацию функции среди всех конечных линейных комбинаций

данной длины дает тот тригонометрический многочлен в котором — коэффициенты Фурье функции 1 относительно рассматриваемой ортогональной системы Но в силу соотношений (5) такой полином наилучшего приближения должен быть нулевым. Значит, всегда

и приблизиться к единице ближе чем на величину линейными комбинациями функций системы нельзя.

Теорема (условия полноты ортонормальной системы).

Пусть X — линейное пространство со скалярным произведением — конечная или счетная ортонормированная система векторов в X. Тогда следующие условия эквивалентны:

система полна по отношению к множеству

для любого вектора имеет место разложение (в ряд Фурье)

для любого вектора имеет место равенство (Парсеваля)

в силу экстремального свойства коэффициентов Фурье (см. лемму 3 и рассуждения в примере 11).

в силу утверждения с) леммы 5.

при

с. Сходимость ряда Фурье, и признак базиса в полном пространстве.

Определение 9. Система векторов линейного нормированного пространства X называется базисом пространства X, если она состоит из линейно независимых векторов и любой вектор может быть представлен в виде где — коэффициенты из поля констант пространства X.

В конечномерном пространстве X полнота в X системы линейно независимых векторов равносильна тому, что эта система является базисом в X. В бесконечномерном случае это, вообще говоря, не так.

Пример 12. Рассмотрим множество непрерывных на отрезке вещественнозначных функций как линейное пространство со скалярным произведением, определенным формулой (3). Обозначим это пространство символом и рассмотрим в нем систему линейно независимых векторов

Эта система полна в пространстве (см. пример 10), но не является его базисом.

Действительно, если где сходимость понимается в смысле нормы т. е. в смысле среднего квадратичного уклонения на отрезке . то по необходимому условию сходимости получаем, что при Но

и значит, при всех достаточно больших значениях к должно быть . В таком случае степенной ряд сходится на интервале и представляет на этом интервале бесконечно дифференцируемую функцию , в то время как априори функция могла не быть таковой. Заметим, что

откуда вытекает, что если непрерывны, то обязательно при Таким образом, показано, что даже в смысле сходимости в среднем разложение невозможно, если например, не бесконечно дифференцируема на отрезке

Важно теперь отметить, в противовес примеру 12, что справедлива следующая простая и полезная

Лемма 6. Ортогональная система векторов полна в пространстве тогда и только тогда, когда она является его базисом.

Нетривиально только утверждение, что полнота такой системы влечет ее базисность. Очевидно, утверждение достаточно проверить для ортонормированной системы в X. Но если линейными комбинациями векторов системы можно сколь угодно точно по норме пространства X аппроксимировать любой вектор , то в силу леммы 3 для любого такого вектора х соответствующий ему ряд Фурье обязан сходиться к х.

Следующая лемма отвечает на вопрос о сходимости ряда Фурье и является естественным обобщением леммы 1.

Напомним (см. § 1, гл. X), что линейное пространство X со скалярным произведением называется гильбертовым пространством, если оно полно как метрическое пространство с метрикой, индуцированной в X этим скалярным произведением.

Лемма 7. Если X — гильбертово пространство, а ортонормированная система в нем, то для любого вектора :

ряд Фурье сходится к некоторому вектору

справедливо разложение где вектор ортогонален линейной оболочке векторов системы.

а) Для ряда выполнены условия критерия Коши.

Действительно а в силу неравенства Бесселя (1,1) ряд сходится.

По свойствам скалярного произведения (см. утверждение леммы 5) для любого вектора нашей системы получаем

В качестве полезного добавления к приведенной выше теореме об условиях полноты ортогональных систем докажем теперь следующее

Утверждение 2. Пусть X — линейное пространство со скалярным произведением, а — система линейно независимых векторов в X. Для того чтобы система была полной в необходимо, чтобы в X не было отличного от нуля вектора ортогонального всем векторам системы

в случае, когда X — гильбертово пространство, достаточно, чтобы в X не было отличного от нуля вектора, ортогонального всем векторам системы.

Если бы нашелся вектор ортогональный всем векторам системы то для любой линейной комбинации по теореме Пифагора получалось бы, что

и, значит, к вектору нельзя приблизиться ближе чем на величину линейными комбинациями векторов системы.

Процессом ортогонализации из системы получим ортонормированную систему линейная оболочка которой совпадает с линейной оболочкой исходной системы.

Берем теперь произвольный вектор и, записав его ряд Фурье по системе получим в соответствии с утверждением

леммы 7 разложение х в сумму где а вектор ортогонален Но поскольку вектор должен быть равен нулю. Значит, я Таким образом, любой вектор допускает сколь угодно точную аппроксимацию векторами из или, что то же самое, векторами из

Условие полноты пространства X в утверждении является существенным, о чем свидетельствует следующий Пример 13. Рассмотрим пространство (см. § 1 гл. X) таких вещественных последовательностей для которых Скалярное произведение векторов из определим стандартным образом:

Рассмотрим теперь в ортонормированную систему . В нее не входит вектор . К системе добавим еще вектор и рассмотрим линейную оболочку ей указанных векторрв. Эту линейную оболочку можно рассматривать как линейное пространство X (подпространство со скалярным произведением, взятым из

Отметим, что вектор очевидно, не может быть получен конечной линейной комбинацией векторов системы поэтому он не лежит в X, но вместе с тем он сколь

угодно точно может быть приближен в 12 такими линейными комбинациями, ибо

Значит, мы одновременно установили, что X не замкнуто в (поэтому X, в отличие от не полное метрическое пространство), но в то же время замыкание X в 12 совпадает с , так как, если добавить к векторам еще вектор , то получим базис пространства 12.

Теперь заметим, что в уже нет отличного от нуля вектора, ортогонального всем векторам системы

Действительно, пусть Тогда и если Но тогда и если при

Вместе с тем ортонормированная система не является полной в X, ибо вектор нельзя сколь угодно точно аппроксимировать векторами системы (в противном, случае в силу сказанного выше линейными комбинациями векторов можно было бы аппроксимировать и вектор что, конечно, не так).

Рис. 103

Рассмотренный пример, разумеется, типично бесконечномерный. Рис. 103 дает геометрическое изображение случившегося в этом примере.