3. Линейные отображения линейных пространств и сопряженные отображения сопряженных пространств.
Пусть 
линейные пространства над полем 
вещественных чисел (или над любым иным, но одним и тем же для 
полем) и пусть 
— линейное отображение X в У, т. е. для любых 
и любого числа 
выполнено
Линейное отображение 
естественным образом порождает сопряженное с ним отображение I: множества 
заданных на 
полилинейных форм в аналогичное множество 
Если 
-форма на К, то по определению
Из (24) и (25) видно, что 
есть 
-форма 
на пространстве X, т. е. 
Более того, если форма 
была кососимметрической, то форма 
тоже кососимметрическая, т. е. 
Отображение I в пределах каждого линейного пространства или 
, очевидно, линейно, т. е.
Сопоставляя теперь определение (25) с определениями (5), 
тензорного произведения, альтернирования и внешнего произведения форм, заключаем, что
Пример 5. Пусть 
— базис в 
— базис в 
Если 
-форма 
в базисе 
имеет координатное представление
где 
где 
с, поскольку
Пример 6. Пусть 
— базисы сопряженных пространств 
взаимные (или сопряженные) с указанными в примере 5 базисами пространств X и 
соответственно. В условиях примера 5 получаем
Пример 7. Сохраняя обозначения примера 6 и учитывая соотношения (22), (29), теперь получаем
Принимая во внимание равенства (26), отсюда можно сделать вывод, что вообще
Задачи и упражнения
(см. скан)
