Главная > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Согласование ориентации поверхности и края.

Если в евклидовом пространстве фиксирован ориентирующий орторепер который индуцирует в декартовы координаты то векторы на краю полупространства задают ориентацию, которую считают согласованной с заданной репером ориентацией полупространства

Мы хотим теперь в общем случае определить, что значит согласованность ориентации поверхности и края. Это весьма важно для практики вычислений, связанных с поверхностными интегралами, о которых будет речь ниже.

Прежде всего убедимся в том, что имеет место следующее общее

Утверждение 2. Край гладкой ориентируемой поверхности сам является гладкой ориентируемой поверхностью (быть может, и несвязной).

С учетом утверждения 1 нам остается только проверить ориентируемость Покажем, что если — ориентирующий атлас поверхности с краем атлас края тоже состоит из попарно согласованных карт. Для этого, очевидно, достаточно проверить, что если есть диффеоморфизм с положительным якобианом окрестности точки окрестность точки то положительный якобиан имеет также отображение окрестности точки на окрестность точки

Заметим, что в любой точке якобиан отображения имеет вид

поскольку при должно быть также (граничные точки переходят при диффеоморфизме в граничные. Остается заметить, что при должно быть также (ведь поэтому значение не может быть отрицательным. По условию и раз , то из указанного равенства определителей следует, что якобиан отображения положителен.

Определение 3. Если ориентирующий атлас стандартных локальных карт поверхности с краем то есть ориентирующий атлас края. Задаваемая им ориентация края называется ориентацией края, согласованной с ориентацией поверхности.

Заканчивая рассмотрение ориентации края ориентируемой поверхности, сделаем два полезных замечания,

Замечание 1. На практике, как уже отмечалось выше, ориентацию лежащей в поверхности часто задают репером касательных к поверхности векторов, поэтому, проверку согласованности ориентации поверхности и ее края в этом случае осуществляют следующим образом. Берут -мерную плоскость касательную к гладкой поверхности в точке края Поскольку локально структура поверхности около точки такая как и структура полупространства около точки то, направив первый вектор ориентирующего 5 орторепера по нормали к и в сторону внешнюю по отношению к локальной проекции 5 на получают в -мерной плоскости касательной к в точке репер который и задает ориентацию а значит, и согласованную с заданной репером ориентацией поверхности

На рис. 77 — 80 на простых примерах показаны процесс и результат согласования ориентаций поверхности и ее края.

Отметим, что описанная схема, по существу. предполагает, что на 5 возможно задание непрерывного поля реперов касательных пространств поскольку мы должны иметь возможность переносить задающий ориентацию 5 репер в разные точки поверхности и ее края, который, как видно из примеров, может быть и несвязным.

Замечание 2. В ориентированном пространстве рассмотрим полупространства с индуцированной из ориентацией. Гиперплоскость является общим краем и . Легко видеть, что ориентации гиперплоскости Г, согласованные с ориентациями и , противоположны.

Аналогично, если ориентированную -мерную поверхность разрезать некоторой -мерной поверхностью (например, сферу — эквдтором), то на указанном разрезе возникнут две противоположные ориентации, - индуцированные ориентациями примыкающих к разрезу частей исходной поверхности.

Этим наблюдением часто пользуются в теории поверхностных интегралов.

Кроме того, им можно воспользоваться, чтобы следующим образом определить ориентируемость кусочно гладкой поверхности.

Дадим прежде всего определение такой поверхности.

Определение 4 (индуктивное определение кусочно гладкой поверхности). Точку условимся относить к нульмерным поверхностям любого класса гладкости.

Кусочно гладкой одномерной поверхностью (кусочно гладкой кривой) назовем такую кривую в которая после удаления из нее конечного или счетного числа некоторых нульмерных поверхностей (точек) распадается на гладкие одномерные поверхности (кривые).

Поверхность размерности назовем кусочно гладкой, если из нее можно так удалить конечное или счетное число кусочно гладких поверхностей размерности не выше что остаток распадется на гладкие -мерные поверхности краем или без края).

Пример 4. Граница плоского угла и граница квадрата суть кусочно гладкие кривые.

Граница куба или граница прямого кругового конуса в суть двумерные кусочно гладкие поверхности.

Вернемся теперь к ориентации кусочно гладкой поверхности.

Точку (нульмерную поверхность) принято ориентировать, приписывая ей знак или — В частности, край отрезка состоящий из двух точек если отрезок ориентирован направлением от а к принято согласованно (с этой ориентацией отрезка) ориентировать так:

Рассмотрим теперь -мерную кусочно гладкую поверхность

Предположим, что две гладкие поверхности из определения 4 кусочно гладкой поверхности ориентированы и примыкают друг к другу вдоль гладкого куска -мерной поверхности (ребра). Тогда на Г, как на краю, возникают ориентации, согласованные с ориентациями соответственно. Если эти две ориентации на любом таком ребре противоположны, то исходные ориентации считаются согласованными. В случае, если пусто или имеет размерность меньшую чем (6 — 1), любые ориентации считаются согласованными.

Определение 5. Кусочно гладкую -мерную поверхность будем считать ориентируемой, если с точностью до конечного или счетного числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше она является объединением гладких ориентируемых поверхностей допускающих их одновременную взаимно согласованную ориентацию.

Пример Поверхность трехмерного куба, как легко проверить, является ориентируемой кусочно гладкой поверхностью. И вообще, все указанные в примере 4 кусочно гладкие поверхности ориентируемы.

Пример 6. Лист Мёбиуса легко представить в виде объединения двух ориентируемых гладких поверхностей, примыкающих по части края, однако эти поверхности нельзя ориентировать согласованно. Можно проверить, что лист Мёбиуса не является ориентируемой поверхностью даже с точки зрения определения 5.

Задачи и упражнения

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru