2. Общие сведения об асимптотических рядах.

а. Единственность асимптотического разложения.

Говоря об асимптотическом поведении функции при некоторой базе мы интересуемся лишь характером предельного поведения функции, поэтому если какие-то две, вообще говоря, различные, функции совпадают на некотором элементе базы то они имеют одинаковое асимптотическое поведение при базе асимптотическом смысле должны считаться совпадающими.

Далее, если заранее фиксировать асимптотическую последовательность по которой желательно вести асимптотическое разложение, то надо считаться с ограниченными возможностями любой такой системы функций . А именно, найдутся функции, которые при данной базе бесконечно малы в сравнении с любым членом асимптотической последовательности

Пример 10. Пусть тогда

Таким образом, естественно принять

Определение 5. Если — асимптотическая последовательность при базе , то функция такая, что для каждого при базе называется асимптотическим нулем относительно последовательности

Определение 6. Функции будем называть асимптотически совпадающими при базг относительно последовательности функций асимптотической при базе если разность этих функций является асимптотическим нулем относительно последовательности

Утверждение 1 (о единственности асимптотического разложения). Пусть — асимптотическая последовательность функций при некоторой базе

Если функция допускает асимптотическое разложение по последовательности при базе то это разложение единственно.

Если функции допускают асимптотическое разложение по системе то эти разложения идентичны в том и только в том случае, когда функции асимптотически совпадают при базе относительно последовательности

а) Пусть функция не нулю тождественно на элементах базы

Покажем, что если при базе и одновременно при базе то

Действительно, при базе поэтому, если то найдется элемент базы в любой точке которого будет выполнено неравенство Если же при базе то найдется элемент базы в любой точке которого Значит, в любой точке должно быть выполнено неравенство или, в предположении, что неравенство Но это невозможно, если хотя бы в одной точке

Рассмотрим теперь асимптотическое разложение функции по последовательности

Пусть при базе Вычитая второе равенство из первого, получаем, что при базе Но при базе значит, по доказанному

Если совпадение коэффициентов двух разложений функции по системе уже доказано, то из равенств

тем же способом получаем, что и

Ссылаясь на принцип индукции, заключаем, что утверждение а) верно.

Если при любом при базе то при любом при базе и, значит, функции асимптотически совпадают относительно асимптотической последовательности

Обратное утверждение следует из а), поскольку асимптотический нуль, в качестве которого мы возьмем разность должен иметь только нулевое асимптотическое разложение.

Замечание 4. Мы обсудили вопрос о единственности асимптотического разложения. Подчеркнем, однако, что само по себе асимптотическое разложение функцни по заданной наперед асимптотической последовательности возможно далеко не всегда. Не всегда же две функции вообще должны быть связаны одним из асимптотических соотношений или при базе

Довольно общая асимптотическая формула Тейлора, например, указывает конкретный класс функций (имеющих при производные до порядка каждая из которых заведомо допускает асимптотическое представление

при Но вот уже функции нельзя дать асимптотическое разложение по системе Таким образом, асимптотическую последовательность и асимптотическое разложение не следует отождествлять с некоторым каноническим базисом и разложением по нему любой асимптотики. Возможных видов асимптотического поведения много больше того, что может описать фиксированная асимптотическая последовательность, поэтому описание асимптотического поведения функции это не столько разложение по заранее заданной асимптотической системе, сколько ее отыскание. Нельзя, например, вычисляя неопределенный интеграл от элементарной функции, заранее требовать, чтобы ответ был

композицией определенных элементарных функций, потому что он вообще может не быть элементарной функцией. Поиск асимптотических формул, подобно вычислению неопределенных интегралов, представляет интерес лишь в той степени, в какой ответ проще и доступнее для исследования, чем исходное выражение.

b. Допустимые действия с асимптотическими формулами.

Элементарное арифметическое свойство символов о и О (такие, как были рассмотрены еще в теории предела (гл. III, § 2, утверждение 4). Из этих свойств и определения асимптотического разложения вытекает очевидное

Утверждение 2 (о линейности асимптотических разложений). Если функции допускают асимптотические разломения по асимптотической последовательности при базе то их линейная комбинация также допускает такое разложение, причем

Дальнейшие свойства асимптотических разложений и вообще асимптотических формул будут относиться ко все более специальным случаям.

Утверждение 3 (об интегрировании асимптотических равенств). Пусть — функция, непрерывная на промежутке (или на промежутке

Если функция непрерывна, неотрицательна на промежутке I, а интеграл расходится, то из соотношений

вытекает ответственно, что

где

Если непрерывные положительные на промежутке функции образуют асимптотическую последовательность при а интегралы при сходятся, то функции тоже образуют асимптотическую последовательность при

Если интеграл сходится и функция имеет асимптотическое разложение при по указанной в асимптотической последовательности то для справедливо асимптотическое разложение

а) Если при то найдутся точка и постоянная М такие, что при Из непрерывности функций на отрезке следует, что тогда на всем отрезке имеет место неравенство а значит,

Для доказательства оставшихся двух соотношений можно воспользоваться (как и в примере 7) правилом Лопиталя, учитывая, что при . В результате получим, что

Поскольку при то, вновь применяя правило Лопиталя, находим, что

Функция в соотношении

как разность непрерывных на функций, сама непрерывна на и, очевидно, при Но при при , поэтому из того же правила Лопиталя следует, что в равенстве

величина есть при

Замечание 5. Дифференцирование асимптотических равенств и асимптотических рядов, вообще говоря, незаконно.

Пример 11. Функция непрерывно дифференцируема на и является асимптотическим нулем относительно асимптотической последовательности при Производные от функций — снова с точностью до множителя имеют вид

однако функция не только не является асимптотическим нулем, но вообще не имеет асимптотического разложения по последовательности при