4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае.

а. Свертка в R^n.

Определение 2. Свертка определенных на вещественно или комплекснозначных функций и, задается соотношением

Пример 6. Сопоставляя формулы (4) и (9), можно заключить, что, например, потенциал распределенного в пространстве с плотностью заряда есть свертка функции и потенциала Е единичного заряда, помещенного в начало координат пространства

Соотношение (9) есть прямое обобщение рассмотренного в § 4 определения свертки. По этой причине все разобранные в § 4 для случая свойства свертки вместе с их выводами остаются в силе, если там всюду заменить на

Дельтаобразное семейство в определяется так же, как и, в с заменой на и с пониманием как окрестности в точки

Понятие равномерной непрерывности функции на множестве а вместе с ним и основное утверждение 5 § 4, о сходимости свертки к тоже со всеми деталями и следствиями переносится на многомерный случай.

Отметим лишь, что в примере 3 и доказательстве следствия 1 из § 4 при определении функций соответственно следует заменить на Небольшие видоизменения -образного семейства, приведенного в примере 4 § 4, потребуются для доказательства теоремы Вейерштрасса об аппроксимации периодических функций тригонометрическими полиномами. В этом случае речь идет о приближении функции непрерывной и периодической с периодами по переменным соответственно.

Утверждение состоит в том, что для любого можно предъявить тригонометрический полином от переменных с соответствующими периодами которйй равномерно с точностью до приближает на

Мы ограничимся этими замечаниями. Самостоятельная проверка доказанных в § 4 для свойств свертки (9) в случае произвольного будет для читателя простым, но полезным упражнением, способствующим адекватному пониманию изложенного В § 4.

b. Обобщенные функции многих переменных.

Остановимся теперь на некоторых многомерных элементах введенных в § 4 понятий, связанных с обобщенными функциями.

Пусть, как и прежде, — соответственно обозначения множеств бесконечно дифференцируемых и финитных бесконечно дифференцируемых в области с функций. Если то будем применять сокращения соответственно. Пусть — мультииндекс, а

В вводится сходимость функций, как и в определении 7, § 4 считается, что при если носители всех функций последовательности содержатся в одном и том же лежащем в компакте и для любого мультииндекса на при имеет место равномерная сходимость функций и всех их производных.

После этого принимается

Определение 3. Линейное пространство с введенной сходимостью обозначается через (при через и называется пространством основных или пробных функций.

Линейные непрерывные функционалы на называются обобщенными функциями или распределениями. Они образуют линейное

пространство обобщенных функций, обозначаемое через

Сходимость в как и в одномерном случае, определяется как слабая (поточечная) сходимость функционалов (см. § 4, определение 6).

Определение регулярной обобщенной функции дословно переносится на многомерный случай.

Остается прежним и определение -функции и смещенной в точку -функции, обозначаемой через или чаще, но не всегда удачно через

Рассмотрим теперь некоторые примеры.

Пример 7. Положим

где Покажем, что эти функции, рассматриваемые как регулярные распределения в сходятся в при 0 к -функции

Для доказательства достаточно проверить, что семейство функций является -образным в при

Используя замену переменной, сведение кратного интеграла к повторному и значение интеграла Эйлера — Пуассона, находим

Далее при любом фиксированном значении

когда

Учитывая, наконец, неотрицательность функций заключаем, что они действительно составляют --образное семейство функций в

Пример 8. Обобщением -функции (отвечающей, например, единичному заряду, помещенному в начало координат пространства является следующая обобщенная функция (отвечающая распределению заряда по кусочно гладкой поверхности с единичной поверхностной плотностью распределения). Действие на функции определяется соотношением

Распределение , так же как и распределение , не является регулярной обобщенной функцией.

Умножение распределения на функцию из определяется в так же, как и в одномерном случае.

Пример 9. Если то есть обобщенная функция, действующая по закону

Если бы функция была определена только на поверхности то равенство (10) можно было бы рассматривать как определение обобщенной функции Так вводимая обобщенная функция по естественной аналогии называется простым слоем на поверхности с плотностью

Дифференцирование обобщенных функций в многомерном случае определяется по тому же принципу, что и в одномерном, но имеет некоторую специфику.

Если то обобщенная функция определяется соотношением

Отсюда следует, что

где — мультииндекс и .

Естественно проверить, что . Но это следует из равенства правых членов соотношений

вытекающего из классического равенства справедливого для любой функции

Пример 10. Рассмотрим дифференциальный оператор где — мультииндекс, — числовые коэффициенты, а сумма распространяется на некоторый конечный набор мультииндексов.

Транспонированным по отношению к оператору или сопряженным: к называется оператор, обозначаемый обычно символом

или и определяемый соотношением

которое должно быть выполнено при любых и

Исходя из равенства (11), можно теперь написать явную формулу

для оператора, сопряженного к указанному дифференциальному оператору

В частности, если все значения четны, оператор оказывается самосопряженным, т. е. для него

Ясно, что операция дифференцирования в сохраняет все свойства дифференцирования в Рассмотрим, однако, следующий специфически многомерный и важный

Пример 11. Пусть — гладкое (-мерное подмногообразие — гладкая гиперповерхность. Предположим, что определенная на функция бесконечно дифференцируема и все ее частные производные имеют предел в каждой точке при одностороннем подходе к а: с любой стороны (локально) поверхности

Разность между этими пределами будет скачком рассматриваемой частной производной в точке х, соответствующим определенному направлению прохода сквозь поверхность в точке х. При изменении этого направления меняется знак скачка. Скачок, таким образом, можно считать функцией на ориентированной поверхности, если, например, условиться, что направление прохода задается ориентирующей поверхность нормалью.

Функция определена, непрерывна и локально ограничена вне причем в силу сделанных допущений локально является Финально ограниченной при подходе к самой поверхности . Поскольку — подмногообразие как бы мы ни доопределили на мы получим функцию с разрывами разве что на и потому локально интегрируемую в Но интегрируемые функции, отличающиеся на множестве меры нуль, имеют равные интегралы, поэтому, не заботясь о значениях на можно считать, что порождает некоторую регулярную обобщенную функцию действующую по закону

Покажем теперь, что если рассматривать как обобщенную функцию, то в смысле дифференцирования обобщенных функций имеет место следующая важная формула:

где последний член понимается в смысле равенства (10); — скачок функции в точке соответствующий любому (из двух возможных) направлению единичной нормали к 5 в точке — проекция на ось

Формула (12) обобщает равенство (17) из § 4, которое мы и используем при ее выводе.

Рассмотрим для определенности случай, когда Тогда

Здесь скачок функции берется в точке при прохождении через нее в направлении координатной оси. В этой же точке берется значение функции при вычислении произведения Значит, последний интеграл можно записать в виде поверхностного интеграла первого рода

где — угол между направлением оси и нормалью к 5 в точке х, направленной так, что при прохождении через точку в направлении этой нормали функция имеет именно полученный нами скачок Это означает всего-навсего, что Остается заметить, что если выбрать другое направление нормали, то для него одновременно изменят знак и скачок функции и косинус угла между направлением оси и направлением нормали, значит, произведение при этом не изменится.

Замечание 1. Как видно из проведенного доказательства, формула (12) имеет место уже тогда, когда для функции определен скачок в любой точке а вне 5 существует

частная производная локально интегрируемая в хотя бы в несобственном смысле, порождающая регулярную обобщенную функцию

Замечание 2. В точках в которых направление оси не трансверсально т. е. касательно к могут возникнуть затруднения в определении скачка по такому направлению. Но из доказательства формулы (12) видно, что последний ее член получен в связи с интегралом

Проекция на плоскость множества Е указанных точек имеет -мерную меру нуль и потому не влияет на значение интеграла. Значит, форму (12) можно считать имеющей смысл и справедливой всегда, если при символу приписывать значение нуль.

Замечание 3. Аналогичные соображения позволяют пренебрегать и множествами, имеющими площадь нуль, поэтому формулу (12) можно считать доказанной и для кусочно гладких поверхностей.

В качестве следующего примера покажем, как из дифференциального соотношения (12) непосредственно получается классическая интегральная формула Гаусса—Остроградского, причем в том наиболее свободном от излишних аналитических требований виде, о котором мы в свое время поставили читателя в известность.

Пример 12. Пусть — конечная область в ограниченная кусочно гладкой, поверхностью — векторное поле, непрерывное в и такое, что функция определена в и интегрируема в хотя бы в несобственном смысле.

Если считать, что вне поле А равно нулю, то скачок такого поля в любой точке х границы области при выходе из области равен Полагая, что х — единичный вектор внешней Нормали к применяя формулу (12) к каждой компоненте поля А и суммируя эти равенства, приходим к соотношению

в котором скалярное произведение векторов в соответствующей точке

Соотношение (13) — это равенство обобщенных функций. Применим его к функции равной единице на (существование

и построение такой функции уже неоднократно обсуждалось). Поскольку для любой функции

(что вытекает непосредственно из определения дифференцирования обобщенной функции), то для нашего поля А и функции очевидно, Но с учетом равенства (13) это дает соотношение

которое в классической записи

совпадает с формулой Гаусса — Остроградского.

Разберем еще несколько важных примеров, связанных с дифференцированием обобщенных функций.

Пример 13. Рассмотрим векторное поле ттлз, определенное в и покажем, что в пространстве обобщенных функций имеет место равенство

Заметим сначала, что при в классическом смысле.

Теперь, используя последовательно определение в виде соотношения (14), определение несобственного интеграла, равенство при формулу (15) Гаусса — Остроградского и финитность функции получаем

Для оператора как и прежде, фундаментальным решением назовем обобщенную функцию для которой

Пример 14. Проверим, что в регулярная обобщенная функция является фундаментальным решением оператора Лапласа

Действительно, при поэтому равенство вытекает из доказанного соотношения (16).

Можно, как и в примере 13, проверить, что при любом

где — площадь единичной сферы в .

Отсюда с учетом соотношения можно заключить, что

и

Пример 15. Проверим, что функция

где , а — функция Хевисайда (т. е. мы полагаем при удовлетворяет уравнению

Здесь А — оператор Лапласа по есть -функция в

При и прямым дифференцированием убеждаемся в том, что

Учитывая это обстоятельство, а также результат примера 7, для любой функции получаем

Пример 16. Покажем, что функция

где — функция удовлетворяет уравнению

в котором есть -функция пространства

Пусть полагая для краткости — находим

В § 4 мы достаточно подробно изложили роль фундаментального решения (аппаратной функции) оператора и роль свертки в задаче определения входного воздействия и по выходу линейного оператора , сохраняющего сдвиги. Все изложенное там по этому поводу без изменений переносится на многомерный случай. Значит, если нам известно фундаментальное решение Е оператора А, т. е. если то можно предъявить и решение и уравнения в виде свертки

Пример 17. Используя функцию примера 16, можно, таким образом, предъявить решение

уравнения

являющееся сверткой функций и Е, заведомо существующей в предположении, наприкер, непрерывности функции Непосредственным дифференцированием возникшего интеграла по параметрам легко проверить, что — действительно решение уравнения

Пример 18. Аналогично на основе результата примера 15 находим решение

уравнения — например, в предположениях непрерывности и ограниченности функции обеспечивающих существование написанной свертки Отметим, что эти предположения делаются для примера и далеки от обязательных. Так, с точки зрения обобщенных функций можно было бы ставить вопрос о решении уавнения — допуская в качестве обобщенную функцию где

Формальная подстановка такой функции под знак интеграла приводит к соотношению

Применяя правила дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, можно убедиться, что эта является решением уравнения — при Отметим, что когда Это вытекает из результата примера 7,

где была установлена -образность встретившегося здесь семейства функций.

Пример 19. Наконец, вспоминая полученное в примере 14 фундаментальное решение оператора Лапласа, в трехмерном случае находим решение

уравнения Пуассона которое с точностью до обозначений и перенормировки совпадает с рассмотренным нами ранее потенциалом (4) распределенного в пространстве с плотностью заряда.

Если в качестве функции взять где кусочно гладкая поверхность в то формальная подстановка в интеграл приводит к функции

являющейся, как мы знаем, потенциалом простого слоя, точнее потенциалом заряда, распределенного по поверхности с поверхностной плотностью

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)