ГЛАВА XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

§ 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье

1. Ортогональные системы функций.

а. Разложение вектора в линейном пространстве.

На протяжении всего курса анализа мы неоднократно отмечали, что те или иные классы функций по отношению к стандартным арифметическим операциям образуют линейные пространства. Таковы, например, основные для анализа классы гладких, непрерывных или интегрируемых на области вещественно, комплексно или вообще векторнозначных функций.

С точки зрения алгебры равенство

где — функции данного класса, — коэффициенты из поля или росту означает, что вектор является линейной комбинацией векторов рассматриваемого линейного пространства.

В анализе, как правило, приходится рассматривать «бесконечные линейные комбинации» — ряды функций вида

Определение суммы ряда требует, чтобы в рассматриваемом линейном пространстве была задана некоторая топология (в частности,

метрика), позволяющая судить о стремлении к нулю разности где

Основным для классического анализа приемом введения метрики на линейном пространстве является определение в этом пространстве той или иной нормы вектора или того или иного скалярного произведения векторов. Обсуждению этих понятий был посвящен § 1 гл X.

Сейчас мы будем рассматривать только пространства, наделенные скалярным произведением (которое, как и прежде, будем обозначать символом . В таких пространствах говорить об ортогональных векторах, ортогональных системах векторов и ортогональных базисах, подобно тому, как это говорилось в знакомом из аналитической геометрии случае трехмерного евклидова пространства.

Определение 1. Векторы линейного пространства, наделенного скалярным произведением называются ортогональными (относительно этого скалярного произведения), если (X,

Определение 2. Система векторов называется ортогональной, если векторы системы, отвечающие различным значениям Индекса к, попарно ортогональны.

Определение 3. Система векторов называется ортонормированной (или ортонормальтй), если для любых индексов выполняется соотношение где символ Кронекера, т. е.

Определение 4. Конечная система векторов называется линейно независимой, если равенство апхп возможно, лишь когда (в первом случае 0 — нулевой вектор пространства, во втором случае 0 — нуль поля коэффициентов).

Произвольная система векторов линейного пространства называется системой линейно независимых векторов, если линейно независима каждая ее конечная подсистема.

Основной вопрос, который нас сейчас будет интересовать, это вопрос о разложении вектора пространства по заданной системе линейно независимых векторов.

Имея в виду дальнейшие приложения к пространствам функций (которые могут быть и бесконечномерны), мы должны считаться с тем, что такое разложение может, в частности, привести к ряду типа ряда (1). Именно в этом и будет состоять элемент анализа при рассмотрении того основного и по существу алгебраического вопроса, который мы поставили.

Как известно из курса аналитической геометрии, разложения по ортогональным и ортонормированным системам имеют много

технических преимуществ в сравнении с разложениями по произвольным линейно независимым системам (легко вычисляются коэффициенты разложения; по координатам векторов в ортонормированием базисе легко вычисляется скалярное произведение этих векторов и т. д.).

Именно поэтому мы будем в основном интересоваться разложениями по ортогональным системам. В пространствах функций это будут разложения по ортогональным системам функций или ряды Фурье, изучению которых и посвящена эта глава.

b. Некоторые примеры ортогональных систем функций.

Развивая пример 12 из § 1 гл. X, на линейном пространстве локально интегрируемых на множестве функций, имеющих интегрируемый на X (в собственном или несобственном смысле) квадрат модуля, введем скалярное произведение

Поскольку интеграл в равенстве (2) сходится и, значит, корректно определяет величину

Если речь будет о вещественнозначных функциях, то в соответствующем вещественном пространстве соотношение (2) сводится к равенству

Опираясь на свойства интеграла, легко проверить, что все указанные в § 1 гл. X аксиомы скалярного произведения в этом случае выполнены, если отождествлять функции, отличающиеся лишь на множествах -мерной меры нуль. Всюду дальше в основном тексте параграфа скалярные произведения функций будут понийзться в смысле равенств (2) и (3).

Пример 1. Вспомним, что при целых тип

Эти соотношения показывают, что система экспонент является ортогональной системой векторов пространства относительно скалярного произведения (2), а тригонометрическая система ортогональна Если рассматривать тригонометрическую систему как набор векторов в т. е. допустить линейные комбинации с комплексными коэффициентами, то в силу формул Эйлера окажется, что рассмотренные системы линейно выражаются друг через друга, т. е. алгебраически эквивалентны. По этой причине систему экспонент также называют тригонометрической системой или точнее тригонометрической системой в комплексной записи.

Соотношения показывают, что рассмотренные системы ортогональны, но не нормированы, а системы уже ортонормированы.

Если вместо отрезка взять произвольный отрезок то заменой переменной можно получить аналогичные системы ортогональные в а также соответствующие ортонормированные системы

Пример 2. Пусть — промежуток в — промежуток в и пусть — ортогональная система функций в — ортогональная система функций в Тогда, как следует, из теоремы Фубини, система функций ортогональна в

Пример 3. Заметим, что при

Значит, если величины таковы, что то исходный интеграл равен нулю. Следовательно, если последовательность корней уравнения где с — произвольная постоянная, то система функций

ортогональна на отрезке . В частности, при получаем знакомую систему

Пример 4. Рассмотрим уравнение

где — числовой коэффициент. Предположим, что функции класса обращаются в нуль на концах отрезка и каддая из них удовлетворяет данному уравнению со своим значением коэффициента Я. Покажем, что если то функции ортогональны на

Действительно, интегрируя по частям, находим, что

В соответствии с уравнением отсюда получаем, что

и, поскольку теперь заключаем, что

В частности, если на , мы вновь получаем ортогональную на систему

Дальнейшие примеры, в том числе и примеры важных для математической физики ортогональных систем читатель найдет в задачах к этому параграфу.

с. Ортогонализация.

Хорошо известно, что в конечномерном евклидовом пространстве на основе любой линейно независимой системы векторов каноническим образом (с помощью процесса ортогонализации Грама — Шмидта можно построить ортогональную и даже ортонормированную систему векторов, эквивалентную данной. Этим же способом, очевидно, и в любом линейном пространстве со скалярным произведением можно ортонормировать любую линейно независимую систему его векторов

Напомним, что процесс ортогонализации, приводящий к ортонормированной системе описывается следующими

соотношениями:

Пример 5. Процесс ортогонализации лрнейно независимой системы приводит к так называемой системе ортогональных многочленов Лежандра. Отметим, что многочленами Лежандра принято называть все же не сами многочлены получаемой при этом ортонормированной системы, а им пропорциональные. Множитель пропорциональности выбирается так, чтобы сделать равным единице коэффициент при старшей степени многочлена. Ортогональность системы при этом, очевидно, не нарушится, ну а нормированность, вообще говоря, теряется.

Многочлены Лежандра нам уже встречались, и мы знаем формулу

для многочлена Лежандра степени . Выпишем несколько первых многочленов Лежандра

Прямым вычислением можно убедиться в их ортогональности на отрезке Принимая указанную выше формулу за определение многочлена проверим ортогональность системы многочленов Лежандра на отрезке Для этого достаточно проверить, что многочлен ортогонален многочленам линейными комбинациями которых получаются многочлены степени

Интегрируя по частям при действительно получаем, что

Некоторые представления об источнике ортогональных систем функций в анализе будут даны в последнем пункте этого параграфа и в задачах к нему, а сейчас мы вернемся к общим алгебраическим вопросам, связанным с разложением вектора по векторам заданной системы в линейном пространстве со скалярным произведением.