4. Некоторые примеры.
Рассмотрим в заключение небольшую группу взаимосвязных примеров, в которых встречаются введенные здесь специальные функции В и Г.
Пример 1.
Для доказательства достаточно в интеграле сделать замену переменной 
Используя формулу (18), интеграл (19) можно выразить через функцию Г. В частности, с учетом (17) получаем
Пример 2. Одномерный шар радиуса 
— это попросту отрезок, а его (одномерный) объем 
— это длина 2г такого отрезка. Итак, 
Если считать, что 
-мерный) объем 
-мериого шара радиуса 
выражается формулой 
то, интегрируя по сечениям (см. пример 3 § 4 гл. XI), получаем
т. е. 
, где
Благодаря соотношениям (20) последнее равенство можно переписать в виде
таким образом,
или, короче,
Но 
поэтому
Следовательно,
или, что то же самое,
Пример 3. Из геометрических соображений ясно, что 
где 
— 
-мерная площадь сферы, ограничивающей в 
n-мерный шар радиуса 
Таким образом, 
и с учетом формулы (21) получаем
Задачи и упражнения
(см. скан)
