2. Гомологии и когомологии.

В силу теоремы Пуанкаре любая замкнутая форма на многообразии локально является точной. Склеить эти локальные первообразные в одну форму на всем многообразии удается далеко не всегда, и это зависит от топологической структуры многообразия. Например, замкнутая в проколотой плоскости форма рассмотренная в § 3 гл. XIV, локально является дифференциалом функции — полярного угла точки — однако, продолжение этой функции в области приводит к многозначностям, если замкнутый путь, по которому идет продолжение, охватывает дырку — точку 0. Примерно так же обстоит дело и с формами других степеней. «Дырки» в многообразиях могут быть различные не только проколы, и такие, как, например, у тора или кренделя. Структура многообразий высших размерностей может быть довольно сложной. Связь между устройством многообразия как топологического пространства и взаимоотношением замкнутых и точных форм на нем описывается так называемыми группами гомологий многообразия.

Замкнутые и точные вещественнозначные формы на многообразии М образуют линейные пространства соответственно, причем .

Определение. 4. Фактор-пространство

называется группой -мерных когомологий (с Вещественными коэффициентами) многообразия М.

Таким образом, две замкнутые формы лежат в одном классе когомологий или когомологичны, если , т. е. если они отличаются на точную форму. Класс когомологий формы о) будем обозначать символом .

Поскольку есть ядро оператора есть образ оператора , то вместо (4), часто пишут

Подсчет когомологий дело, как правило, трудное. Можно, однако, сделать некоторые тривиальные общие наблюдения.

Из определения 4 следует, что если то, очевидно,

Из теоремы Пуанкаре вытекает, что если М стягиваемо, то при

На любом связном многообразии М группа изоморфна так как , а если для функции на связном многообразии М выполнено соотношение , то

Таким образом, например, для пространства получается при утверждение (с точностью до тривиального последнего соотношения) эквивалентно теореме 1 при и тоже называется теоремой Пуанкаре.

Более наглядную геометрическую связь с многообразием М имеют так называемые группы гомологий.

Определение 5. Гладкое отображение -мерного куба в Многообразие М называют сингулярным кубом на многообразии М.

Это прямое обобщение понятия гладкого пути на случай произвольной размерности . В частности, сингулярный куб может состоять в преобразовании куба I в одну точку.

Определение 6. Цепью Сингулярных кубов) размерности на многообразии М называется любая конечная формальная линейная комбинация сингулярных -мерных кубов на с вещественными коэффициентами.

Как и пути, сингулярные кубы, получающиеся друг из друга диффеоморфным изменением параметризации с положительным якобианом, считаются эквивалентными и отождествляются. Если же такая замена параметризации происходит с отрицательным якобианом, то соответствующие (противоположно ориентированные) сингулярные кубы считаются противоположными и полагают .

Цепи размерности на многообразии М, очевидно, образуют линейное пространство относительно стандартных операций сложения и умножения на вещественное число. Это пространство мы обозначим через

Определение 7. Границей -мерного куба называется -мерная цепь

в где - отображение -мерного куба в индуцированное каноническим вложением соответствующей грани куба Точнее, если

Легко проверить, что это формальное определение границы куба в точности совпадает с операцией взятия края стандартно ориентированного куба (см. гл. XII § 3).

Определение 8. Граница сингулярного -мерного куба есть -мерная цепь

Определение 9. Граница -мерной цепи на многообразии М есть -мерная цепь.

Таким образом, на любом пространстве цепей определен линейный оператор

Исходя из соотношения (5), можно проверить, что для куба имеет место соотношение Следовательно, вообще

Определение 10. Циклом размерности или -циклом на многообразии называется такая цепь, для которой

Определение 11. Граничным циклом размерности на мноюобразии называется цепь, являющаяся границей некоторой -мерной цепи.

Пусть — совокупности -мерных циклов и -мерных граничных циклов на многообразии М. Ясно, что являются линейными пространствами над полем и что .

Определение 12. Фактор-пространство

называется -мерной группой гомологий (с вещественными коэффициентами) многообразия М.

Таким образом, два цикла лежат в одном классе гомологий или гомологичны, если , т. е. если они отличаются на границу некоторой цепи. Класс гомологий цикла будем обозначать через

Как и в случае когомологий, соотношение (6) можно переписать в виде

Определение 13. Если — сингулярный -мерный куб, а — -форма на многообразии М, то интегралом от формы по этому сингулярному кубу называется величина

Определение 14. Если — цепь размерности , а — -форма на многообразии М, то интеграл от формы по такой цепи понимается как линейная комбинация интегралов по соответствующим сингулярным кубам.

Из определений и 13, 14 следует., что для интеграла по сингулярному кубу справедлива формула Стокса

где с и имеют размерность и степень соответственно. Если учесть еще определение 9, то можно заключить, что вообще формула Стокса (8) остается в силе для интегралов по цепям.

Теорема 2. а) Интеграл от точной формы по циклу равен нулю.

Интеграл от замкнутой формы по границе цепи равен нулю.

Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от класса гомологий цикла.

Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от класса когомологий формы.

Если замкнутые -формы и циклы размерности таковы, что то

а) По формуле Стокса так как

b) По формуле Стокса так как

c) Вытекает из b).

d) Вытекает из а).

e) Вытекает из с) и d).

Следствие. Билинейное отображение задаваемое формулой , индуцирует билинейное отображение и билинейное отображение Последнее задается формулой

Теорема 3 (де Рам). Задаваемое формулой (9) билинейное отображение невырождено

Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой теоремы де Рама, но дадим несколько ее переформулировок, позволяющих в явном виде представить используемые в анализе ее следствия.

Прежде всего заметим, что каждый класс когомологий в силу (9) можно интерпретировать как линейную функцию на . Таким образом, возникает естественное отображение где — сопряженное к пространство. Теорема де Рама утверждает, что это отображение является изоморфизмом, и в этом смысле

Определение 15. Если — замкнутая -форма, цикл размерности на многообразии М, то величина называется периодом (или циклической постоянной) формы на цикле

В частности, если цикл гомологичен нулю, то, как следует из утверждения теоремы По этой причине между периодами имеется следующая связь:

т. е. если линейная комбинация циклов является граничным циклом, или, что то же самое, гомологична нулю, то соответствующая линейная комбинация периодов равна нулю.

Имеют место следующие две теоремы де Рама, которые в совокупности равносильны теореме 3.

Теорема 4 (первая теорема де Рама). Замкнутая форма точна тогда и только тогда, когда, все ее периоды равны нулю.

Теорема 5 (вторая теорема де Рама). Если каждому -циклу на многообразии М сопоставить число с соблюдением условия (10), то на М найдется такая замкнутая -форма что для любого цикла

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)