4. Примеры приложений.
Продемонстрируем теперь преобразование Фурье (и отчасти аппарат рядов Фурье) в работе.
а. Волновое уравнение.
Успешное использование преобразования Фурье в уравнениях математической физики связано (в математическом отношении) прежде всего с тем, что преобразование Фурье заменяет операцию дифференцирования алгебраической операцией умножения
Пусть, например, ищется функция и: 
удовлетворяющая уравнению
где 
— постоянные коэффициенты, 
известная функция. Применяя к обеим частям этого равенства преобразование Фурье (в предположения достаточной регулярности функций и и 
благодаря соотношению (31) получим алгебраическое уравнение 
относительно 
. Найдя из него 
обратным преобразованием Фурье получаем и 
Применим эту идею к отысканию функции 
удовлетворяющей в 
одномерному волновому уравнению
и начальным условиям
Здесь и в следующем примере мы не будем останавливаться на обосновании промежуточных выкладок, потому что, как правило, легче бывает найти нужную функцию и непосредственно проверить, что она решает поставленную задачу, чем обосновать и преодолеть все возникающие по дороге технические трудности. Существенную роль в принципиальной борьбе с этими трудностями, кстати, играют обобщенные функции, о чем уже упоминалось
Итак, рассматривая 
как параметр, сделаем преобразование Фурье по х обеих частей нашего уравнения. Тогда, считая возможным выносить дифференцирование по параметру 
за знак интеграла, с одной стороны, и, пользуясь формулой (31), с другой стороны, получим
откуда находим
В силу начальных данных
Таким образом,
Домножая это равенство на и интегрируя по короче, беря обратное преобразование Фурье и используя формулу (31), непосредственно получаем
b. Уравнение теплопроводности.
Еще один элемент аппарата преобразований Фурье (а именно формулы (39), (40)), оставшийся в тени при рассмотрении предыдущего примера, хорошо проявляется при отыскании функции 
удовлетворяющей во всем пространстве 
уравнению теплопроводности.
и начальному условию и 
Здесь, как всегда, 
Выполнив преобразование Фурье по переменной 
получим в силу (31) обыкновенное уравнение
из которого следует, что
где 
Учитывая, что 
находим
Применяя обратное преобразование Фурье, с учетом соотношения (39) получаем
где 
— та функция, преобразованием Фурье которой по х получается функция 
Обратное преобразование Фурье по 
функции 
в сущности нам уже известно из примера 9. Сделав очевидную замену переменной, найдем
Полагая 
находим уже знакомое нам (см. гл. XVII, § 4, пример 15) фундаментальное решение
уравнения теплопроводности и формулу
для решения, удовлетворяющего начальному условию 
с. Формула Пуассона.
Так называется следуюцеуе соотношение:
между функцией 
(пусть 
и ее преобразованием Фурье 
Формула (41) получается при 
из равенства
которое мы и докажем, считая, что 
— быстро убывающая функция.
Поскольку 
ряды в обеих частях равенства (42) сходятся абсолютно (поэтому их можно сумммировать как угодно) и равномерно по х на всей прямой 
Далее, поскольку производные быстро убывающей функции сами являются функциями класса 
, те можно заключить, что функция 
принадлежит классу 
. Функция 
очевидно, 
-периодическая. Пусть 
ее коэффициенты Фурье по ортонормированной
системе 
Тогда
Но 
— гладкая 
-периодическая функция, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней в любой точке 
Значит, в любой точке 
справедливо соотношение
Замечание 5, Как видно из доказательства, соотношения (41), (42) справедливы далеко не только для функции класса 
Но если все же 
то равенство (42) можно сколько угодно раз дифференцировать почленно по аргументу х, получая как следствие новые соотношения между 
d. Теорема Котельникова.
Этот пример, основанный, как и предыдущий, на красивом комбинировании ряда и интеграла Фурье, имеет прямое отношение к теории передачи информации по каналу связи. Чтобы он не показался искусственным, напомним, что в силу ограниченных возможностей наших органов чувств мы способны воспринимать сигналы только в определенном диапазоне частот. Например, ухо «слышит» в диапазоне от 20 герц до 20 килогерц. Таким Образом, какие бы ни были сигналы, мы, подобно фильтру (см. п. 1), вырезаем только ограниченную часть их спектра и воспринимаем их как сигналы с финитным спектром.
Будем поэтому сразу считать, что передаваемый, или получаемый нами сигнал 
(где 
— время, 
имеет финитный спектр, отличный от нуля лишь для частот со, величина которых не превышает некоторого критического значения 
Итак, 
при 
поэтому представление
для функции с финитным спектром сводится к интегралу лишь по промежутку 
отрезке 
функцию 
разложим в ряд Фурье
по системе 
ортогональной и полной на этом отрезке. Учитывая формулу (43), для коэффициентов 
этого ряда получаем следующее простое выражение:
Подставляя ряд (44) в интеграл (43), с учетом соотношений (45) находим
Вычислив эти элементарные интегралы, приходим к формуле Котельникова
Формула (46) показывает, что для восстановления сообщения, описываемого функцией 
с финитным спектром, сосредоточенным в полосе частот 
достаточно передать по каналу связи лишь значения 
(называемые отсчетными значениями) данной функции через равные промежутки времени 
.
Это утверждение в совокупности с формулой (45) принадлежит В. А. Котельникову и называется теоремой Котельникова или теоремой отсчетов.
Замечание 6. Сама по себе интерполяционная формула (46) была известна в математике еще до работы В. А. Котельникова (1933 г.) Но в этой работе впервые было указано фундаментальное значение разложения (46) для теории передачи непрерывных
сообщений по каналу связи. Изложенная выше идея вывода формулы (46) также принадлежит В. А. Котельникову.
Замечание 7. Реально время передачи и приема сообщения ограничено, поэтому вместо всего ряда (46) берут некоторую его частичную сумму 
Специальные исследования посвящены оценке возникающих при этом погрешностей.
Замечание 8. Если известно, сколько времени занимает передача одного отсчетного значения сообщения 
в данном канале связи, то легко оценить количество таких сообщений, которые можно параллельно передавать по этому каналу связи. Иными словами, появляется возможность оценить пропускную способность капала связи (более того, еще и в зависимости от информационной насыщенности сообщений, которая сказывается на спектре сигнала 
Задачи и упражнения
(см. скан)
